A vida útil (em horas) de um tipo de lâmpada é aproximadamente normal com média
e desvio padrão
Encontre o valor x tal que
das lâmpadas durem menos que esse valor.
Encontre o valor x tal que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que aparece no problema).
- A vida útil (em horas) de uma lâmpada segue uma distribuição aproximadamente normal com média
e desvio padrão . - O enunciado pede o valor
tal que das lâmpadas durem menos que esse valor, isto é, quer-se encontrar tal que
Passo 2
Entender a estratégia (a ideia matemática por trás): para variáveis normais usamos padronização.
- Seja
a vida útil. Se é normal com média e desvio padrão , então a variável padronizada
é uma variável com distribuição normal padrão (média
e desvio
).
- A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por
. Padronizando o evento temos
- Logo, para encontrar
tal que precisamos primeiro achar o valor que satisfaz
e depois voltar para
usando
Explicando cada símbolo:
-
é a probabilidade acumulada até da normal padrão. -
é o percentil correspondente na escala padronizada. -
é a média ( ), é o desvio padrão ( ).
Passo 3
Achar
tal que
(usar tabela da normal padrão ou calculadora inversa).
- Em tabelas da normal padrão:
e . - O valor desejado
está entre esses dois; fazemos uma interpolação linear para aproximar . - A diferença total entre as duas probabilidades é
. - A diferença entre
e é . - Fração relativa
. - Assim
.
- A diferença total entre as duas probabilidades é
- Usando valor mais preciso de uma inversa da normal (ou calculadora estatística) obtém-se comumente
(ambas as aproximações são equivalentes dentro de 0{,}0002). - Para a conta vamos usar
.
Passo 4
Voltar para
usando
.
- Substituindo
, e :
- Calcular
: faça em partes para ficar claro: -
-
- Soma:
.
-
- Portanto
- Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
. Em contexto de lâmpadas pode-se arredondar para ou conforme conveniência da resposta.
Passo 5
Interpretação final e incentivo:
- O valor encontrado significa que aproximadamente
das lâmpadas terão vida útil menor que cerca de horas. - Boa! Esse tipo de questão é sempre padrão em prova: padronizar, usar a tabela/inversa da normal e voltar para a escala original. Você já pegou o procedimento — com prática fica automático.