A vida útil (em horas) de um tipo de lâmpada é aproximadamente normal com média μ=1100 e desvio padrão σ=130 \mathrm{~h}
Encontre o valor x tal que 80 \% das lâmpadas durem menos que esse valor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que aparece no problema).
  • A vida útil (em horas) de uma lâmpada segue uma distribuição aproximadamente normal com média \mu=1100 e desvio padrão \sigma=130\\ \mathrm{h}.
  • O enunciado pede o valor x tal que 80\% das lâmpadas durem menos que esse valor, isto é, quer-se encontrar x tal que
P(X < x) = 0{,}8.

Passo 2

Entender a estratégia (a ideia matemática por trás): para variáveis normais usamos padronização.
  • Seja X a vida útil. Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, então a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
é uma variável com distribuição normal padrão (média 0 e desvio 1).
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por \Phi(z)=P(Z<z). Padronizando o evento X<x temos
P(X<x)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(Z<\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
  • Logo, para encontrar x tal que P(X<x)=0{,}8 precisamos primeiro achar o valor z que satisfaz
\Phi(z)=0{,}8,
e depois voltar para x usando
z=\frac{x-\mu}{\sigma}\quad\Longrightarrow\quad x=\mu+z\sigma.
Explicando cada símbolo:
  • \Phi(z) é a probabilidade acumulada até z da normal padrão.
  • z é o percentil correspondente na escala padronizada.
  • \mu é a média ( 1100), \sigma é o desvio padrão ( 130).

Passo 3

Achar z tal que \Phi(z)=0{,}8 (usar tabela da normal padrão ou calculadora inversa).
  • Em tabelas da normal padrão: \Phi(0{,}84)=0{,}7995 e \Phi(0{,}85)=0{,}8023.
  • O valor desejado 0{,}8000 está entre esses dois; fazemos uma interpolação linear para aproximar z.
    • A diferença total entre as duas probabilidades é 0{,}8023-0{,}7995=0{,}0028.
    • A diferença entre 0{,}8000 e \Phi(0{,}84) é 0{,}8000-0{,}7995=0{,}0005.
    • Fração relativa =0{,}0005/0{,}0028\approx0{,}1786.
    • Assim z\approx0{,}84+0{,}1786\cdot0{,}01\approx0{,}8418.
  • Usando valor mais preciso de uma inversa da normal (ou calculadora estatística) obtém-se comumente z\approx0{,}8416 (ambas as aproximações são equivalentes dentro de 0{,}0002).
  • Para a conta vamos usar z=0{,}8416.

Passo 4

Voltar para x usando x=\mu+z\sigma.
  • Substituindo \mu=1100, \sigma=130 e z=0{,}8416:
x=1100+0{,}8416\times130.
  • Calcular 0{,}8416\times130: faça em partes para ficar claro:
    • 130\times0{,}8=104
    • 130\times0{,}0416=130\times\frac{416}{10000}= \frac{54080}{10000}=5{,}408
    • Soma: 104+5{,}408=109{,}408.
  • Portanto
x=1100+109{,}408=1209{,}408\\ \mathrm{h}.
  • Arredondando de forma prática (duas casas decimais): x\approx1209{,}41\\ \mathrm{h}. Em contexto de lâmpadas pode-se arredondar para 1209\\ \mathrm{h} ou 1210\\ \mathrm{h} conforme conveniência da resposta.

Passo 5

Interpretação final e incentivo:
  • O valor encontrado significa que aproximadamente 80\% das lâmpadas terão vida útil menor que cerca de 1209{,}41 horas.
  • Boa! Esse tipo de questão é sempre padrão em prova: padronizar, usar a tabela/inversa da normal e voltar para a escala original. Você já pegou o procedimento — com prática fica automático.

Resposta

x\approx1209{,}41\\ \mathrm{h}

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