Uma amostra aleatória de 10 medições de resistência elétrica (em ohms) foi coletada de um lote de componentes de precisão: [
]
Assuma que o desvio padrão populacional é
ohms.
a) Determine o intervalo de confiança bilateral de
para a média populacional.
b) Foram realizadas mais 4 medições:
. Determine o novo intervalo de confiança bilateral de
para a média populacional considerando as 14 medições.
Assuma que o desvio padrão populacional é
a) Determine o intervalo de confiança bilateral de
b) Foram realizadas mais 4 medições:
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (peguei estes números do enunciado): amostra inicial de
medições - Desvio padrão populacional assumido:
. - Perguntas:
(a) calcular o intervalo de confiança bilateral depara a média populacional usando as 10 observações;
(b) após acrescentar mais 4 medições(portanto no total), calcular o novo intervalo de confiança bilateral de para a média populacional.
Passo 2
Explicar a fórmula e o raciocínio que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando a população tem desvio padrão conhecido
, o intervalo de confiança bilateral para a média populacional
com nível de confiança
é dado por
onde:
-
é a média amostral (a média dos dados); -
é o tamanho da amostra; -
é o desvio padrão populacional (aqui dado); -
é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma oscilar ao redor de ); -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que . Valores práticos que vamos usar: - para
de confiança ( ): ; - para
de confiança ( ): .
- para
Na prova: calcule
, calcule o erro padrão
, multiplique por
para obter a margem de erro e some/subtraia da média.
Passo 3
Cálculo da média amostral com as 10 observações (etapa bem mastigada).
Somar os 10 valores:
A média amostral é
Passo 4
Cálculo do erro padrão e da margem de erro para
com
.
Erro padrão:
Margem de erro com
:
Passo 5
Construir o intervalo de confiança de
para a média com
.
Aplicando a fórmula:
Portanto os extremos são
Logo o intervalo de confiança bilateral de
é aproximadamente
Passo 6
Atualizar a amostra com as 4 novas medições e calcular a nova média para
.
Soma das 4 novas medições (peguei estes números do enunciado):
Soma total das 14 observações:
Média amostral com
:
Passo 7
Cálculo do erro padrão e da margem de erro para
com
.
Erro padrão:
Margem de erro com
:
Passo 8
Construir o intervalo de confiança de
para a média com
.
Aplicando a fórmula:
Extremos:
Portanto o intervalo de confiança bilateral de
com as 14 medições é aproximadamente
Passo 9
Comentário final curto e motivador.
Repare que, mesmo adicionando 4 medições e aumentando o nível de confiança de
para
, o intervalo mudou muito pouco porque o desvio padrão populacional assumido é relativamente grande em comparação com a variação das médias amostrais; em geral, aumentar
reduz o erro padrão, e aumentar o nível de confiança aumenta a margem de erro — aí tem um trade-off. Bom trabalho: você fez todos os passos que caem na prova!