Uma amostra aleatória de 10 medições de resistência elétrica (em ohms) foi coletada de um lote de componentes de precisão: [ 16.3,16.5,16.4,16.2,16.6,16.3,16.5,16.4,16.6,16.5 ]
Assuma que o desvio padrão populacional é \sigma=0.34 ohms.
a) Determine o intervalo de confiança bilateral de 90 \% para a média populacional.
b) Foram realizadas mais 4 medições: 16.4,16.3,16.5,16.6. Determine o novo intervalo de confiança bilateral de 95 \% para a média populacional considerando as 14 medições.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes números do enunciado): amostra inicial de n=10 medições 16,3,\;16,5,\;16,4,\;16,2,\;16,6,\;16,3,\;16,5,\;16,4,\;16,6,\;16,5.
  • Desvio padrão populacional assumido: \sigma=0,34 \Omega.
  • Perguntas:
    (a) calcular o intervalo de confiança bilateral de 90\% para a média populacional usando as 10 observações;
    (b) após acrescentar mais 4 medições \;16,4,\;16,3,\;16,5,\;16,6\; (portanto n=14 no total), calcular o novo intervalo de confiança bilateral de 95\% para a média populacional.

Passo 2

Explicar a fórmula e o raciocínio que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando a população tem desvio padrão conhecido \sigma, o intervalo de confiança bilateral para a média populacional \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (a média dos dados);
  • n é o tamanho da amostra;
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui dado);
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma oscilar ao redor de \mu);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2. Valores práticos que vamos usar:
    • para 90\% de confiança ( \alpha=0,10): z_{0,05}\approx1,645;
    • para 95\% de confiança ( \alpha=0,05): z_{0,025}\approx1,96.
Na prova: calcule \bar{x}, calcule o erro padrão \sigma/\sqrt{n}, multiplique por z_{\alpha/2} para obter a margem de erro e some/subtraia da média.

Passo 3

Cálculo da média amostral com as 10 observações (etapa bem mastigada).
Somar os 10 valores:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 16,3+16,5+16,4+16,2+16,6+16,3+16,5+16,4+16,6+16,5 = 164,3.
A média amostral é
\bar{x}_{10}=\dfrac{164,3}{10}=16,43.

Passo 4

Cálculo do erro padrão e da margem de erro para 90\% com n=10.
Erro padrão:
\text{SE}_1=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{0,34}{\sqrt{10}}=\dfrac{0,34}{3,1623}\approx0,1076.
Margem de erro com z_{0,05}\approx1,645:
\text{ME}_1 = 1,645\times0,1076\approx0,177.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança de 90\% para a média com n=10.
Aplicando a fórmula:
\bar{x}_{10}\pm\text{ME}_1 = 16,43\pm0,177.
Portanto os extremos são
\text{limite inferior}=16,43-0,177=16,253, \qquad \text{limite superior}=16,43+0,177=16,607.
Logo o intervalo de confiança bilateral de 90\% é aproximadamente
[16,253,\;16,607].

Passo 6

Atualizar a amostra com as 4 novas medições e calcular a nova média para n=14.
Soma das 4 novas medições (peguei estes números do enunciado):
16,4+16,3+16,5+16,6=65,8.
Soma total das 14 observações:
\sum_{i=1}^{14} x_i = 164,3+65,8=230,1.
Média amostral com n=14:
\bar{x}_{14}=\dfrac{230,1}{14}\approx16,4357\approx16,436.

Passo 7

Cálculo do erro padrão e da margem de erro para 95\% com n=14.
Erro padrão:
\text{SE}_2=\dfrac{\sigma}{\sqrt{14}}=\dfrac{0,34}{\sqrt{14}}=\dfrac{0,34}{3,7417}\approx0,0909.
Margem de erro com z_{0,025}\approx1,96:
\text{ME}_2 = 1,96\times0,0909\approx0,178.

Passo 8

Construir o intervalo de confiança de 95\% para a média com n=14.
Aplicando a fórmula:
\bar{x}_{14}\pm\text{ME}_2 = 16,436\pm0,178.
Extremos:
\text{limite inferior}=16,436-0,178=16,258, \qquad \text{limite superior}=16,436+0,178=16,614.
Portanto o intervalo de confiança bilateral de 95\% com as 14 medições é aproximadamente
[16,258,\;16,614].

Passo 9

Comentário final curto e motivador.
Repare que, mesmo adicionando 4 medições e aumentando o nível de confiança de 90\% para 95\%, o intervalo mudou muito pouco porque o desvio padrão populacional assumido é relativamente grande em comparação com a variação das médias amostrais; em geral, aumentar n reduz o erro padrão, e aumentar o nível de confiança aumenta a margem de erro — aí tem um trade-off. Bom trabalho: você fez todos os passos que caem na prova!

Resposta

[16,253,\;16,607]
[16,258,\;16,614]

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