Um pesquisador está avaliando a temperatura média (em ^{\circ} \mathrm{C} ) de operação de um microprocessador durante um teste de estresse. Ele coleta uma amostra de 7 medições obtendo os seguintes valores: [ 80.1,80.4,80.7,80.3,80.0,80.6,80.2 ] Assuma que a população segue uma distribuição aproximadamente normal. O desvio padrão não é conhecido e deve ser extraído a partir da amostra.
Foram realizadas mais três medições de temperatura, obtendo-se os valores de [80.5, 80.0, 80.3] ^{\circ} C. Determine o intervalo de confiança bilateral de 99 \% para a média, utilizando a distribuição t de Student, a partir da nova amostra de tamanho 10

Passo 1

O enunciado dá duas amostras de temperaturas (em ^\circ\mathrm{C}) que devem ser tratadas como uma única amostra combinada para construir um intervalo de confiança bilateral de 99\% para a média populacional. Dados fornecidos:
  • Primeira amostra (número de observações 7): \{80,1,\;80,4,\;80,7,\;80,3,\;80,0,\;80,6,\;80,2\}.
  • Segunda amostra (número de observações 3): \{80,5,\;80,0,\;80,3\}.
  • Suposição: população aproximadamente normal; desvio padrão populacional desconhecido (logo usar a distribuição t de Student).
    O que a questão pede:
  • Determinar o intervalo de confiança bilateral de 99\% para a média, usando a distribuição t, a partir da amostra combinada de tamanho n=10.

Passo 2

Juntar as duas amostras e calcular a média amostral \bar{x}.
  • Amostra combinada (neste ordem): \{80,1,\;80,4,\;80,7,\;80,3,\;80,0,\;80,6,\;80,2,\;80,5,\;80,0,\;80,3\}.
  • Soma das observações:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 803,1.
  • Tamanho da amostra:
n = 10.
  • Média amostral (definição): \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i. Assim,
\bar{x}=\dfrac{803,1}{10}=80,31.
Interpretação rápida: \bar{x} é a melhor estimativa pontual da média populacional com base na amostra.

Passo 3

Calcular a variância amostral s^2 e o desvio padrão amostral s.
  • Fórmula da variância amostral (amostra única, estimador não viesado):
s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2,
onde cada x_i é uma observação e \bar{x} é a média amostral.
  • Calcular as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (apresentados aqui resumidamente):
\begin{aligned} (80,1-80,31)^2 &= (-0,21)^2=0,0441,\\\ (80,4-80,31)^2 &= (0,09)^2=0,0081,\\\ (80,7-80,31)^2 &= (0,39)^2=0,1521,\\\ (80,3-80,31)^2 &= (-0,01)^2=0,0001,\\\ (80,0-80,31)^2 &= (-0,31)^2=0,0961,\\\ (80,6-80,31)^2 &= (0,29)^2=0,0841,\\\ (80,2-80,31)^2 &= (-0,11)^2=0,0121,\\\ (80,5-80,31)^2 &= (0,19)^2=0,0361,\\\ (80,0-80,31)^2 &= (-0,31)^2=0,0961,\\\ (80,3-80,31)^2 &= (-0,01)^2=0,0001. \end{aligned}
  • Soma dos quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 0,5290.
  • Variância amostral:
s^2=\dfrac{0,5290}{10-1}=\dfrac{0,5290}{9}=0,058777\ldots
  • Desvio padrão amostral (definição): s=\sqrt{s^2}. Assim,
s=\sqrt{0,058777\ldots}\approx 0,2424.
Interpretação: s mede a dispersão das observações em torno da média amostral; como a variância populacional é desconhecida, usamos s para estimar o erro de \bar{x}.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error) e obter o valor crítico t para 99\% com n-1 graus de liberdade.
  • Erro padrão da média (definição):
\mathrm{SE}=\dfrac{s}{\sqrt{n}}.
Substituindo s\approx0,2424 e n=10:
\mathrm{SE}\approx\dfrac{0,2424}{\sqrt{10}}=\dfrac{0,2424}{3,1623}\approx0,0767.
  • Distribuição t: para um intervalo bilateral de nível 99\%, o nível de significância é \alpha=0,01 e cada cauda tem área \alpha/2=0,005. O valor crítico é t_{1-\alpha/2,\;df} com df=n-1=9.
  • Valor crítico (tabela ou calculadora): aproximadamente
t_{0,995,\;9}\approx 3,2498.
Explicação curta: usa-se t porque a variância populacional é desconhecida e s introduz variabilidade extra; quanto menor a amostra, mais “pesadas” são as caudas da t.

Passo 5

Calcular a margem de erro e construir o intervalo de confiança.
  • Margem de erro:
\text{ME}=t_{0,995,\;9}\times\mathrm{SE}\approx 3,2498\times 0,0767\approx 0,2491.
  • Intervalo de confiança bilateral de 99\%:
\bigl[\bar{x}-\text{ME},\\ \bar{x}+\text{ME}\bigr] = \bigl[80,31-0,2491,\\\ 80,31+0,2491\bigr].
  • Fazendo as subtrações/adicões:
\bigl[80,0609,\\\ 80,5591\bigr]\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática (duas ou três casas decimais conforme necessidade da prova), pode-se escrever:
\bigl[80,061^\circ\mathrm{C},\\\ 80,559^\circ\mathrm{C}\bigr].

Passo 6

Interpretação final e dica de prova
  • Interpretação: com base na amostra de n=10, podemos afirmar com 99\% de confiança que a verdadeira média de operação do microprocessador está entre aproximadamente 80,061^\circ\mathrm{C} e 80,559^\circ\mathrm{C}.
  • Dica para prova: anote claramente (1) \bar{x}, (2) s calculado com divisor n-1, (3) \mathrm{SE}=s/\sqrt{n}, (4) t crítico com df=n-1 e o nível desejado, e então calcule a margem de erro. Se o tempo for curto, calcule a soma e soma dos quadrados incrementalmente para evitar erros de arredondamento.

Resposta

\bigl[80,061^\circ\mathrm{C},\\\ 80,559^\circ\mathrm{C}\bigr]

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