Um pesquisador está avaliando a temperatura média (em
) de operação de um microprocessador durante um teste de estresse. Ele coleta uma amostra de 7 medições obtendo os seguintes valores: [
] Assuma que a população segue uma distribuição aproximadamente normal. O desvio padrão não é conhecido e deve ser extraído a partir da amostra.
Foram realizadas mais três medições de temperatura, obtendo-se os valores de [80.5, 80.0, 80.3]
C. Determine o intervalo de confiança bilateral de
para a média, utilizando a distribuição t de Student, a partir da nova amostra de tamanho 10
Foram realizadas mais três medições de temperatura, obtendo-se os valores de [80.5, 80.0, 80.3]
Passo 1
O enunciado dá duas amostras de temperaturas (em
) que devem ser tratadas como uma única amostra combinada para construir um intervalo de confiança bilateral de
para a média populacional. Dados fornecidos:
- Primeira amostra (número de observações
): . - Segunda amostra (número de observações
): . - Suposição: população aproximadamente normal; desvio padrão populacional desconhecido (logo usar a distribuição
de Student).
O que a questão pede: - Determinar o intervalo de confiança bilateral de
para a média, usando a distribuição , a partir da amostra combinada de tamanho .
Passo 2
Juntar as duas amostras e calcular a média amostral
.
- Amostra combinada (neste ordem):
. - Soma das observações:
- Tamanho da amostra:
- Média amostral (definição):
. Assim,
Interpretação rápida:
é a melhor estimativa pontual da média populacional com base na amostra.
Passo 3
Calcular a variância amostral
e o desvio padrão amostral
.
- Fórmula da variância amostral (amostra única, estimador não viesado):
onde cada
é uma observação e
é a média amostral.
- Calcular as diferenças
e seus quadrados (apresentados aqui resumidamente):
- Soma dos quadrados das diferenças:
- Variância amostral:
- Desvio padrão amostral (definição):
. Assim,
Interpretação:
mede a dispersão das observações em torno da média amostral; como a variância populacional é desconhecida, usamos
para estimar o erro de
.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (standard error) e obter o valor crítico
para
com
graus de liberdade.
- Erro padrão da média (definição):
Substituindo
e
:
- Distribuição
: para um intervalo bilateral de nível , o nível de significância é e cada cauda tem área . O valor crítico é com . - Valor crítico (tabela ou calculadora): aproximadamente
Explicação curta: usa-se
porque a variância populacional é desconhecida e
introduz variabilidade extra; quanto menor a amostra, mais “pesadas” são as caudas da
.
Passo 5
Calcular a margem de erro e construir o intervalo de confiança.
- Margem de erro:
- Intervalo de confiança bilateral de
:
- Fazendo as subtrações/adicões:
Arredondando de forma prática (duas ou três casas decimais conforme necessidade da prova), pode-se escrever:
Passo 6
Interpretação final e dica de prova
- Interpretação: com base na amostra de
, podemos afirmar com de confiança que a verdadeira média de operação do microprocessador está entre aproximadamente e . - Dica para prova: anote claramente (1)
, (2) calculado com divisor , (3) , (4) crítico com e o nível desejado, e então calcule a margem de erro. Se o tempo for curto, calcule a soma e soma dos quadrados incrementalmente para evitar erros de arredondamento.