Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às idades de 50 funcionários, que compõem uma amostra dos funcionários de uma empresa de recilagem, resultando a seguinte tabela de valores:
Idades de 50 funcionários de uma empresa de reciclagem
30 30 31 31 32 33 34 35 29 29
37 37 45 37 38 38 38 40 36 36
44 44 37 45 45 46 47 48 41 43
20 21 22 24 25 25 26 27 18 20
51 53 54 54 56 58 62 65 49 50
Pede-se:
a) Construir a tabela de distribuição de frequências.
b) Determinar a média.
c) Calcular e interpretar a mediana.
d) Calcular e interpretar a moda.
e) Determinar e interpretar o 10 quartil.
f) Determinar a variância.
g) Determinar o desvio padrão.
h) Determinar e interpretar o coeficiente de variação.
i) A distribuição é simétrica? Justifique.
j) Construir o histograma de frequências absolutas.

Passo 1

O enunciado nos dá as idades de 50 funcionários e pede medidas de estatística descritiva: tabela de frequência, média, mediana, moda, primeiro quartil, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, simetria e histograma. Para isso vamos organizar os dados em classes, usar fórmulas de média, mediana, moda e quartil em amostras ordenadas e aplicar as definições de variância e desvio.

Passo 2

Organizamos os 50 valores em 5 classes de amplitude 10 anos e contamos a frequência absoluta f_i e relativa h_i=f_i/50:
Classe de Idade (anos) f_i h_i
[18,27] 10 0{,}20
[28,37] 16 0{,}32
[38,47] 13 0{,}26
[48,57] 8 0{,}16
[58,67] 3 0{,}06
Total 50 1{,}00

Passo 3

Para a média usamos
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
A soma das idades é \sum x_i = 1916, logo
\bar x = \frac{1916}{50} = 38{,}32\text{ anos}.

Passo 4

Ordenando os dados, como n=50 é par, a mediana é a média da 25ª e da 26ª observação. Ambas valem 37, então
\text{Mediana} = \tilde x = 37\text{ anos}.

Passo 5

A moda é o valor que ocorre com maior frequência. O 37 aparece 4 vezes, mais do que qualquer outro, logo
\text{Moda} = 37\text{ anos}.

Passo 6

Usamos a definição interpolada do primeiro quartil:
Q_1 = \text{valor da posição }\frac{n+1}{4} = \frac{51}{4} =12{,}75.çã
Isso fica entre a 12ª observação 29 e a 13ª 30, de modo que
Q_1 = 29 + 0{,}75\,(30 - 29) = 29{,}75\text{ anos}.
Isso significa que 25% dos funcionários têm até 29{,}75 anos.

Passo 7

Para a variância populacional usamos
\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i^2 - \bar x^{2}.
Calculamos \sum x_i^2 = 79996. Então
\sigma^2 = \frac{79996}{50} - (38{,}32)^2 =1599{,}92 -1468{,}42 =131{,}50\\ (\text{anos}^2).

Passo 8

O desvio padrão populacional é
\sigma = \sqrt{131{,}50} = 11{,}47\text{ anos}.

Passo 9

O coeficiente de variação é
CV = \frac{\sigma}{\bar x}\times100\% = \frac{11{,}47}{38{,}32}\times100\% = 29{,}9\%.
Isso indica uma variabilidade em torno de 30% da média.

Passo 10

Como \bar x = 38{,}32 > \tilde x = 37, a cauda da distribuição é mais longa à direita. Logo, a distribuição é assimétrica positivamente (assimétrica à direita).

Passo 11

O histograma de frequências absolutas tem no eixo horizontal as classes [18,27], [28,37], [38,47], [48,57], [58,67] e no eixo vertical as alturas iguais a 10, 16, 13, 8 e 3, respectivamente.

Resposta

a) Tabela de frequência apresentada no Passo 2.
b) \bar x = 38{,}32 anos.
c) Mediana = 37 anos.
d) Moda = 37 anos.
e) Primeiro quartil Q_1 = 29{,}75 anos.
f) Variância \sigma^2 = 131{,}50 ano s^{2}.
g) Desvio padrão \sigma = 11{,}47 anos.
h) Coeficiente de variação CV = 29{,}9\%.
i) A distribuição é assimétrica à direita, pois \bar x>\tilde x.
j) Histograma com classes e frequências absolutas (10,16,13,8,3).

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