Um pesquisador que está estudando uma população de araucárias com mais de 15 anos em uma reserva ambiental mediu a altura de n=25 araucárias e calculou sua média amostral em barX=8,00 m. Sabe-se de estudos prévios que a variância populacional das alturas dessas araucárias é de sigma^2=16,00 m^2, e logo que o desvio padrão populacional correspondente é de sigma=4,00 m. Calcule o intervalo de gamma=95 % de confiança (IC) para a média populacional mu de alturas das araucárias (Dica: pode utilizar que Z1-alpha / 2=Z0,975= 1,96 simeq 2,00, onde alpha=1-gamma ).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: um pesquisador mediu a altura de n = 25 araucárias e achou média amostral bar X = 8,00,m. Já sabemos de estudos que a variância populacional é sigma^2 = 16,m ^2, ou seja, desvio padrão sigma = 4,m. A tarefa é montar o intervalo de confiança de 95 % para a média verdadeira mu.
Conteúdo: estatística inferencial – estimativa de intervalo para a média com sigma conhecido. Vamos precisar da fórmula
bar X pm Z1-alpha/2,sigmaraizn
onde Z1-alpha/2 é o valor crítico da Normal padrão.

Passo 2

Primeiro, lembra que “95 % de confiança” significa gamma = 0,95, então alpha = 1-gamma = 0,05 e 1-alpha/2 = 0,975. O valor crítico da Normal padrão para 0,975 é Z0,975approx 1,96, que a dica arredondou para 2,00. A teoria aqui é: quando sigma populacional é conhecida, a distribuição da estatística
bar X - musigma/raizn
é aproximadamente Normal padrão (teorema central do limite). Daí o IC.

Passo 3

Calcular o erro-padrão da média (standard error):
SE = sigmaraizn = 4raiz25 = 45 = 0,8 (m)

Passo 4

Agora a margem de erro (ME) é
ME = Z1-alpha/2,SE approx 2,00 times 0,8 = 1,6 (m)

Passo 5

Construindo o intervalo de confiança:
bar X pm ME = 8,00 pm 1,6
ou seja, de 8,00 - 1,6 = 6,4,m até 8,00 + 1,6 = 9,6,m.

Resposta

O intervalo de confiança de 95 % para a média mu é
boxed(6,4;m,;9,6;m)

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