[ 1,0 ] Dados os vetores
\vec{u}=(1,0,1) \quad \text { e } \quad \vec{v}=(0,1,1)
(a) Calcular o ângulo entre eles.
(b) Obter a projeção de \vec{u} na direção de \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,0,1) e \vec{v}=(0,1,1) e pede duas coisas: (a) o ângulo entre eles e (b) a projeção de \vec{u} na direção de \vec{v}. Vamos usar produto escalar para o ângulo e a fórmula de projeção de vetores.

Passo 2

Calcular o produto escalar
\vec{u}\cdot\vec{v} = (1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 1.

Passo 3

Calcular as normas
\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad \|\vec{v}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.

Passo 4

Usar a definição de cosseno do ângulo \theta:
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} = \frac12.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac12\bigr) = 60^\circ\quad(\text{ou }\tfrac{\pi}{3}\text{ rad}).

Passo 5

Calcular a projeção de \vec{u} sobre \vec{v} pela fórmula
\mathrm{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\,\vec{v} = \frac{1}{(\sqrt{2})^2}\,(0,1,1) = \frac12\,(0,1,1) = \bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr).

Resposta

(a) \theta = 60^\circ (ou \tfrac{\pi}{3} rad).
(b) \mathrm{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \bigl(0,\tfrac12,\tfrac12\bigr).

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