Um pesquisador percebe que a frequência de uma nota emitida pela buzina de um automóvel parece cair de 284 Hz para 266 Hz à medida que o automóvel passa por ele. Sabendo que a velocidade do som no ar é 330 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual das alternativas melhor representa a velocidade do automóvel?
a) 10,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
b) 21,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
c) 5,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
d) 16,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
e) 8,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado nos dá duas frequências percebidas devido ao efeito Doppler para uma mesma buzina de frequência emitida f_e: quando o carro se aproxima, ouvimos f_{\text{apo}}=284,Hz, e quando ele se afasta, ouvimos f_{\text{af}}=266,Hz. A velocidade do som é v=330,m/s. O que queremos é a velocidade do carro, u.

Passo 2

Pela teoria do efeito Doppler com observador em repouso e fonte móvel, valem as fórmulas
f_\text{apo} \;=\; f_e \,\frac{v}{\,v - u\,},
f_\text{af} \;=\; f_e \,\frac{v}{\,v + u\,}.

Passo 3

Para eliminar f_e, dividimos a primeira pela segunda:
\frac{f_\text{apo}}{f_\text{af}} \;=\; \frac{\displaystyle f_e \frac{v}{v - u}} {\displaystyle f_e \frac{v}{v + u}} \;=\; \frac{v + u}{v - u}.
Substituindo \,f_\text{apo}=284 e \,f_\text{af}=266, temos
\frac{284}{266} = \frac{330 + u}{330 - u}.

Passo 4

Agora resolvemos para u:
284\,(330 - u) = 266\,(330 + u) \;\Longrightarrow\; 284\cdot330 - 284\,u = 266\cdot330 + 266\,u
(284 - 266)\,330 = (284 + 266)\,u \;\Longrightarrow\; 18 \cdot 330 = 550\,u \;\Longrightarrow\; u = \frac{18\cdot330}{550} = 10,8\\ \text{m/s}.

Resposta

a) 10,8\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados