Numa pesquisa de marketing com 200 consumidores, verificou-se que 35 preferem o sabão em pó M O M O.
a) Teste a hipótese \mathrm{H}_{0}: p=0,15 \times \mathrm{H}_{\mathrm{A}}: p>0,15, a um nível de significância 5 \%, com a variância estimada
b) Mantendo-se fixo o valor de \hat{p} no cálculo da variância estimada, de quanto de ser aumentada a amostra para que o resultado do teste seja o oposto do obtido?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=200 em que X=35 consumidores preferem o sabão em pó MOMO. Queremos testar
H_0: p=0,15 \quad\text{vs.}\quad H_A: p>0,15
ao nível de significância \alpha=5\%, usando a variância estimada (isto é, substituir p por \hat p).

Passo 2

Calcular a proporção amostral:
\hat p = \frac{X}{n} = \frac{35}{200} = 0,175.

Passo 3

Sob H_0 usamos o aproximante normal com variância estimada por \hat p(1-\hat p)/n. O valor do estatístico é
z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\hat p\,(1-\hat p)/n}} = \frac{0,175 - 0,15}{\sqrt{0,175\cdot0,825/200}} \approx \frac{0,025}{\sqrt{0,144375/200}} \approx \frac{0,025}{0,02686} \approx 0,93.

Passo 4

O valor crítico para um teste unilateral à direita com \alpha=0,05 é z_{1-\alpha}=z_{0,95}\approx1,645. Como
z \approx 0,93 < 1,645,
não rejeitamos H_0.

Passo 5

Para inverter o resultado (isto é, obter z>1,645) mantendo \hat p=0,175 fixo, exigimos
\frac{0,175 - 0,15}{\sqrt{0,175\cdot0,825/N}} > 1,645.
Isto leva a
\sqrt{N} > \frac{1,645\sqrt{0,175\cdot0,825}}{0,025} \quad\Longrightarrow\quad N > \Bigl(\frac{1,645\sqrt{0,144375}}{0,025}\Bigr)^{2} \approx 627.

Passo 6

Como a amostra atual é n=200, devemos ter
N - 200 \approx 627 - 200 = 427
amostras adicionais para que o teste passe a rejeitar H_0.

Resposta

a) z\approx0,93<1,645, logo não rejeitamos H_0 ao nível de 5 %.
b) É preciso aumentar a amostra em aproximadamente 427 observações.

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