Questão 26. Seja o campo vetorial
dado por
(a) Esboce o campo de vetores
no caso em que
e
. Neste caso,
é um campo conservativo?
(b) Determine todos os campos bidimensionais
, que são da forma dada acima, que sejam incompressíveis e irrotacionais em
. Estes campos serão sempre conservativos?
(b) Determine todos os campos bidimensionais
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que ele dá (sem resolver ainda).
-
O campo vetorial geral é dado por
-
Perguntas:
(a) No casoe : - Esboçar o campo
para esses valores. - Responder se, nesse caso,
é um campo conservativo.
(b) Para o campo da forma geral acima: - Determinar todos os campos que sejam incompressíveis (divergência nula) e irrotacionais (rotacional nulo) em
. - Dizer se esses campos serão sempre conservativos.
- Esboçar o campo
-
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A forma linear (afim homogênea) do campo, i.e. componentes lineares em
e . - Os valores numéricos para o item (a):
, , , .
- A forma linear (afim homogênea) do campo, i.e. componentes lineares em
Passo 2
Primeiro escrevo o campo específico do item (a) com os valores dados e apresento uma forma conveniente (matricial).
-
Substituindo
, , , na expressão geral, -
É útil ver
como multiplicação por uma matriz :
Explicação rápida (didática): escrever o campo como
ajuda a entender crescimento linear com a distância ao origem e propriedades como rotação/alongamento que a matriz impõe.]
Passo 3
Defino e calculo a divergência (para interpretar compressibilidade) do campo do item (a).
-
Definição objetiva: para um campo
, a divergência é Intuição: mede se o campo é fonte () ou sorvedouro ( ) localmente; diverge zero significa incompressível (sem fontes locais). -
Para
: Logo -
Conclusão (parcial): o campo tem divergência
, ou seja, é localmente expansivo (há “fontes”) e não é incompressível.
Passo 4
Defino e calculo o rotacional (curl) em 2D e respondo à parte de ser conservativo para o item (a).
-
Definição objetiva: em
(campo ) o rotacional escalar é Intuição: mede tendência de rotação local do campo; see o domínio é simplesmente conexo (como ), então é conservativo (i.e. é gradiente de alguma função potencial). -
Para
: Então -
Conclusão (parcial): o rotacional é
. Como , o campo NÃO é irrotacional; e, consequentemente, NÃO é conservativo em (num domínio simplesmente conexo, rotacional zero é condição necessária e suficiente para existir potencial).
Passo 5
Esboço e interpretação qualitativa do campo do item (a) — como desenhar rápido na prova.
- Como
é linear em , os vetores crescem proporcionalmente à distância. - Vetores em alguns pontos úteis (para você desenhar):
- Padrão: há um comportamento de expansão (divergência positiva) combinado com rotação (rotacional não nulo) — o campo é como uma mistura de “girar” e “sair” do centro. Para esboçar na prova, marque alguns pontos e desenhe vetores conforme acima; depois ligue a tendência.]
Passo 6
Agora resolvo a parte (b): condições em termos de
para que o campo seja incompressível e irrotacional.
- Relembrando as fórmulas para um campo geral
:
-
Impondo as condições:
- Incompressível:
- Irrotacional:
- Incompressível:
-
Portanto todos os campos que satisfazem as duas condições simultâneas têm a formacom
quaisquer números reais.
Explicação didática: impusemos duas equações lineares simples nas constantes; o resultado é uma família de campos de duas dimensões (parâmetros
).
Passo 7
Verifico se esses campos são sempre conservativos (i.e. se existe potencial
com
), e, se sim, encontro a função potencial.
-
Em
(domínio simplesmente conexo), condição suficiente e necessária para ser conservativo é e componentes com regularidade suficiente. Aqui já impusemos , então devemos poder encontrar . -
Construção explícita do potencial (método de integração direta): queremos
e . -
Integro
em relação a : ondeé função a determinar. -
Diferencio essa expressão em relação a
e igualo a : Igualando aresulta -
Integro
: ondeé constante arbitrária. -
Logo a potencial encontrada é
-
-
Verificação rápida: calcular
e devolve exatamente . -
Conclusão: toda a família
é conservativa em (tem potencial polinomial como acima). Além disso, note que a condição de domínio simplesmente conexo (aqui ) permite a existência global do potencial.
Passo 8
Observações finais úteis para a prova (dicas rápidas e intuição):
- Para campos lineares como este, calcular
e é imediato: basta somar ou subtrair constantes das matrizes. Isso dá respostas em tempo curto na prova. - Se encontrar
já pode concluir que não é conservativo. Se em , então geralmente existe potencial; você pode construí-lo por integração (método mostrado). - No item (a) uma verificação rápida:
já encerra que não é conservativo — não precisa procurar potencial.
Resposta
(a)
. Não é conservativo.
(b) Todos os campos incompressíveis e irrotacionais da forma dada são
(b) Todos os campos incompressíveis e irrotacionais da forma dada são
com
. Sim — esses campos são sempre conservativos; um potencial é
com
constante.