Questão 26. Seja o campo vetorial \vec{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dado por
\vec{F}(x, y)=(a x+b y) \vec{i}+(c x+d y) \vec{j}
(a) Esboce o campo de vetores \vec{F} no caso em que a=c=d=1 e b=-1. Neste caso, \vec{F} é um campo conservativo?
(b) Determine todos os campos bidimensionais \vec{F}, que são da forma dada acima, que sejam incompressíveis e irrotacionais em \mathbb{R}^{2}. Estes campos serão sempre conservativos?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que ele dá (sem resolver ainda).
  • O campo vetorial geral é dado por
    \vec{F}(x,y)=(a x+b y)\,\vec{i}+(c x+d y)\,\vec{j}.
  • Perguntas:
    (a) No caso a=c=d=1 e b=-1:
    • Esboçar o campo \vec{F} para esses valores.
    • Responder se, nesse caso, \vec{F} é um campo conservativo.
      (b) Para o campo da forma geral acima:
    • Determinar todos os campos que sejam incompressíveis (divergência nula) e irrotacionais (rotacional nulo) em \mathbb{R}^{2}.
    • Dizer se esses campos serão sempre conservativos.
  • Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
    • A forma linear (afim homogênea) do campo, i.e. componentes lineares em x e y.
    • Os valores numéricos para o item (a): a=1, b=-1, c=1, d=1.

Passo 2

Primeiro escrevo o campo específico do item (a) com os valores dados e apresento uma forma conveniente (matricial).
  • Substituindo a=1, b=-1, c=1, d=1 na expressão geral,
    \vec{F}(x,y)=(1\cdot x+(-1)\cdot y,\,1\cdot x+1\cdot y)=(x-y,\,x+y).
  • É útil ver \vec{F} como multiplicação por uma matriz M:
    \vec{F}(x,y)=M\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix},\qquad M=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Explicação rápida (didática): escrever o campo como M(x,y)^{T} ajuda a entender crescimento linear com a distância ao origem e propriedades como rotação/alongamento que a matriz impõe.]

Passo 3

Defino e calculo a divergência (para interpretar compressibilidade) do campo do item (a).
  • Definição objetiva: para um campo \vec{F}=(F_1,F_2), a divergência é
    \operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}.
    Intuição: mede se o campo é fonte ( >0) ou sorvedouro ( <0) localmente; diverge zero significa incompressível (sem fontes locais).
  • Para \vec{F}(x,y)=(x-y,\,x+y):
    \frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=1, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
    Logo
    \operatorname{div}\vec{F}=1+1=2.
  • Conclusão (parcial): o campo tem divergência \,2\neq 0, ou seja, é localmente expansivo (há “fontes”) e não é incompressível.

Passo 4

Defino e calculo o rotacional (curl) em 2D e respondo à parte de ser conservativo para o item (a).
  • Definição objetiva: em \mathbb{R}^2 (campo F_1,F_2) o rotacional escalar é
    \operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}.
    Intuição: mede tendência de rotação local do campo; se \operatorname{rot}\vec{F}=0 e o domínio é simplesmente conexo (como \mathbb{R}^2), então \vec{F} é conservativo (i.e. é gradiente de alguma função potencial).
  • Para \vec{F}(x,y)=(x-y,\,x+y):
    \frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1, \qquad \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1.
    Então
    \operatorname{rot}\vec{F}=1-(-1)=2.
  • Conclusão (parcial): o rotacional é \,2\neq 0. Como \operatorname{rot}\vec{F}\neq 0, o campo NÃO é irrotacional; e, consequentemente, NÃO é conservativo em \mathbb{R}^2 (num domínio simplesmente conexo, rotacional zero é condição necessária e suficiente para existir potencial).

Passo 5

Esboço e interpretação qualitativa do campo do item (a) — como desenhar rápido na prova.
  • Como \vec{F}(x,y) é linear em x,y, os vetores crescem proporcionalmente à distância.
  • Vetores em alguns pontos úteis (para você desenhar): \begin{aligned} \vec{F}(0,0)&=(0,0) &&\text{: origem é ponto crítico (vetor zero);}\\[4pt] \vec{F}(1,0)&=(1,1) &&\text{: aponta para nordeste, 45°;}\\[4pt] \vec{F}(0,1)&=(-1,1) &&\text{: aponta para noroeste;}\\[4pt] \vec{F}(1,1)&=(0,2) &&\text{: aponta para cima;}\\[4pt] \vec{F}(t,t)&=(0,2t) &&\text{: ao longo da reta \(y=x\) aponta verticalmente para cima;}\\[4pt] \vec{F}(t,-t)&=(2t,0) &&\text{: ao longo da reta \(y=-x\) aponta horizontalmente para a direita.} \end{aligned}éí
  • Padrão: há um comportamento de expansão (divergência positiva) combinado com rotação (rotacional não nulo) — o campo é como uma mistura de “girar” e “sair” do centro. Para esboçar na prova, marque alguns pontos e desenhe vetores conforme acima; depois ligue a tendência.]

Passo 6

Agora resolvo a parte (b): condições em termos de a,b,c,d para que o campo seja incompressível e irrotacional.
  • Relembrando as fórmulas para um campo geral \vec{F}(x,y)=(a x+b y,\,c x+d y): \operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(a x+b y)+\frac{\partial}{\partial y}(c x+d y)=a+d,
\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(c x+d y)-\frac{\partial}{\partial y}(a x+b y)=c-b.
  • Impondo as condições:
    • Incompressível: \operatorname{div}\vec{F}=0\Rightarrow a+d=0\Rightarrow d=-a.
    • Irrotacional: \operatorname{rot}\vec{F}=0\Rightarrow c-b=0\Rightarrow c=b.
  • Portanto todos os campos que satisfazem as duas condições simultâneas têm a forma
    \vec{F}(x,y)=(a x+b y,\,b x - a y),
    com a,b quaisquer números reais.
Explicação didática: impusemos duas equações lineares simples nas constantes; o resultado é uma família de campos de duas dimensões (parâmetros a,b).

Passo 7

Verifico se esses campos são sempre conservativos (i.e. se existe potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}), e, se sim, encontro a função potencial.
  • Em \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conexo), condição suficiente e necessária para \vec{F} ser conservativo é \operatorname{rot}\vec{F}=0 e componentes com regularidade suficiente. Aqui já impusemos \operatorname{rot}\vec{F}=0, então devemos poder encontrar \varphi.
  • Construção explícita do potencial (método de integração direta): queremos \phi_x=F_1=a x+b y e \phi_y=F_2=b x - a y.
    1. Integro \phi_x em relação a x:
      \varphi(x,y)=\int (a x+b y)\,dx=\frac{a}{2}x^2+b x y+g(y),
      onde g(y) é função a determinar.
    2. Diferencio essa expressão em relação a y e igualo a F_2:
      \phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{a}{2}x^2+b x y+g(y)\Big)=b x+g'(y).
      Igualando a F_2=b x - a y resulta
      b x+g'(y)=b x - a y \quad\Rightarrow\quad g'(y)=-a y.
    3. Integro g'(y):
      g(y)=\int -a y\,dy=-\frac{a}{2}y^2 + C,
      onde C é constante arbitrária.
    4. Logo a potencial encontrada é
      \varphi(x,y)=\frac{a}{2}x^2+b x y-\frac{a}{2}y^2 + C.
  • Verificação rápida: calcular \phi_x e \phi_y devolve exatamente (a x+b y,\,b x - a y).
  • Conclusão: toda a família \vec{F}(x,y)=(a x+b y,\,b x - a y) é conservativa em \mathbb{R}^2 (tem potencial polinomial como acima). Além disso, note que a condição de domínio simplesmente conexo (aqui \mathbb{R}^2) permite a existência global do potencial.

Passo 8

Observações finais úteis para a prova (dicas rápidas e intuição):
  • Para campos lineares como este, calcular \operatorname{div} e \operatorname{rot} é imediato: basta somar ou subtrair constantes das matrizes. Isso dá respostas em tempo curto na prova.
  • Se encontrar \operatorname{rot}\neq 0 já pode concluir que não é conservativo. Se \operatorname{rot}=0 em \mathbb{R}^2, então geralmente existe potencial; você pode construí-lo por integração (método mostrado).
  • No item (a) uma verificação rápida: \operatorname{rot}=2\neq 0 já encerra que não é conservativo — não precisa procurar potencial.

Resposta

(a) \vec{F}(x,y)=(x-y,\,x+y). Não é conservativo.
(b) Todos os campos incompressíveis e irrotacionais da forma dada são
\vec{F}(x,y)=(a x+b y,\,b x - a y),
com a,b\in\mathbb{R}. Sim — esses campos são sempre conservativos; um potencial é
\varphi(x,y)=\frac{a}{2}x^2+b x y-\frac{a}{2}y^2 + C,
com C constante.

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