Verifique se a série converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma.
sumn=0^infty 2^N1+2^2 N

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=0^infty dfrac2^n1+4^n (é uma série numérica infinita) e, se ela convergir, calcular sua soma.

Passo 2

Para testar convergência, observe o comportamento assintótico do termo geral an = dfrac2^n1+4^n. Para n grande, 4^n domina em relação a 1, de modo que
an = 2^n1+4^n sim 2^n4^n = l(tfrac12r)^n
Como sumn=0^infty (tfrac12)^n é uma série geométrica convergente (razão 1/2<1), pelo critério da comparação ou critério da razão conclui-se que nossa série também converge.

Passo 3

Para encontrar a soma, podemos computar somas parciais até que o resto seja desprezível. Por exemplo, até n=16 já temos uma aproximação muito boa:
SN = sumn=0^16 2^n1+4^n approx 1,383081
O termo seguinte n=17 vale cerca de 7,6times10^-6, e os termos subsequentes decaem geometricamente com razão aproximada 1/2. Isso gera um erro total menor que 2times10^-5.
Portanto a soma converge para cerca de
S = sumn=0^infty 2^n1+4^n approx 1,38310

Resposta

A série converge (razão assintótica 1/2) e sua soma é aproximadamente
1,38310

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