Um engenheiro de minas planeja fazer mineração hidráulica com um jato de água de alta velocidade. Um lago, à pressão atmosférica, está localizado a \mathrm{H}= 600 metros acima do local da mina. A água será fornecida através de 1200 metros de uma mangueira de incêndio com diâmetro interno de 135 mm e rugosidade relativa e/d = 0,003. 180 engates ( \mathrm{Le}^{-} / \mathrm{D}=20 ) estão localizados na mangueira. O diâmetro de saída do bocal é d =15 \mathrm{~mm}. O coeficiente de perda localizada da saída é K=0,05 baseado na velocidade de saída. Estime a velocidade de saída máxima que o sistema pode fornecer.

Passo 1

O enunciado dá um reservatório à pressão atmosférica situado a H=600,m acima de um bocal, ligado por uma mangueira de comprimento L=1200,m e diâmetro interno D=0,135,m, com rugosidade relativa e/D=0,003. Há 180 engates, cada um com comprimento equivalente \mathrm{Le}/D=20. O bocal de saída tem diâmetro d=0,015,m e coeficiente de perda localizada K=0,05.
Conteúdo: aplicação da equação de Bernoulli com perdas de carga distribuídas (Darcy–Weisbach) e localizadas, além da relação de continuidade entre velocidade na mangueira e no bocal.

Passo 2

Pela continuidade, a vazão Q é a mesma em toda a linha, de modo que
Q = A_p\,v_p = A_n\,v
onde A_p=\tfrac\pi4D^2 é a área da mangueira, A_n=\tfrac\pi4d^2 a área do bocal, v_p a velocidade na mangueira e v a velocidade de saída. Logo,
v_p = \frac{A_n}{A_p}\,v = \biggl(\frac{d}{D}\biggr)^{2} v = \biggl(\frac{0,015}{0,135}\biggr)^{2} v\approx0{,}012345\,v.

Passo 3

Aplicando Bernoulli entre o espelho livre e a saída do bocal, desprezando perdas no reservatório e considerando as perdas distribuídas e localizadas, obtemos em termos de altura de carga H:
H =\frac{v^2}{2g} +\underbrace{\frac{f\,L_{\rm eq}}{D}\,\frac{v_p^2}{2g}}_{\text{perda distribuída}} +\underbrace{K\,\frac{v^2}{2g}}_{\text{perda no bocal}}í
onde L_{\rm eq}=L + L_e é o comprimento total equivalente, com L_e vindo dos engates:
L_e = n_{\rm eng}\,\Bigl(\frac{\mathrm{Le}}{D}\Bigr)\,D =180\times20\times0{,}135=486\text{ m},
logo L_{\rm eq}=1200+486=1686,m.
Substituindo v_p=\alpha\,v com \alpha=0{,}012345, temos
H =\frac{v^2}{2g}\Bigl[\,1 + K + f\,\frac{L_{\rm eq}}{D}\,\alpha^2\Bigr].

Passo 4

Precisamos estimar o fator de atrito f. Para isso, adotamos a fórmula de Swamee–Jain
f = \frac{0,25}{\Bigl[\log_{10}\bigl(\frac{e/D}{3,7} + \frac{5,74}{\Re^{0,9}}\bigr)\Bigr]^2},
onde \Re = v_p D/\nu. Como v ainda é desconhecido, assumimos iterativamente uma ordem de grandeza e ajustamos: no fim obtemos \Re\sim1{,}7\times10^5 e
f\approx0{,}027.

Passo 5

Substituindo todos os valores em
H = \frac{v^2}{2g}\Bigl[1 + K + f\,\frac{L_{\rm eq}}{D}\,\alpha^2\Bigr]
temos
600 = \frac{v^2}{2\cdot9{,}81}\Bigl[\,1 + 0{,}05 + 0{,}027\cdot\frac{1686}{0{,}135}\cdot(0{,}012345)^2\Bigr].
Calculando o termo entre colchetes:
1 + 0{,}05 + 0{,}027\cdot12489\cdot0{,}0001524 \approx1{,}1014,
então
v^2 = \frac{2\cdot9{,}81\cdot600}{1{,}1014}\approx1{,}069\times10^4,
logo
v \approx103{,}4\text{ m/s}.

Passo 6

Verificando a consistência do fator f com v_p\approx1{,}27,m/s, obtemos praticamente o mesmo f\approx0{,}027 e, por conseguinte, o mesmo valor de v.

Resposta

A velocidade de saída máxima estimada é
v \approx103{,}4\\ \text{m/s}.

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