Uma pessoa aplicou um capital a juros simples durante 1 ano e meio. Sendo corrigido a uma taxa de 5 \% ao mês, gerou no final do período um montante de R$ 35.530,00. Determine o capital aplicado nesta situação.

Passo 1

O enunciado diz que uma pessoa aplicou um capital durante 1 ano e meio a juros simples, à taxa de 5\% ao mês, e que o montante final obtido foi R\$\,35.530{,}00. Pede-se: determinar o capital aplicado.
Informações fornecidas:
  • Montante final: M = R\$\,35.530{,}00.
  • Taxa por mês: i = 5\% ao mês, isto é i = 0{,}05 (em forma decimal).
  • Tempo: 1 ano e meio = 1{,}5 anos = 18 meses (vou usar meses porque a taxa é mensal).
    Pergunta: qual é o capital inicial C que, a juros simples nessas condições, gera o montante dado?

Passo 2

Fórmula dos juros simples (essencial aqui). Em juros simples o montante M é dado por:
M = C\,(1 + i\,n)
onde:
  • M é o montante (valor final),
  • C é o capital inicial (o que queremos achar),
  • i é a taxa por período (em decimal),
  • n é o número de períodos (meses, neste caso).
Explicando a fórmula de forma simples: juros simples calcula os juros somente sobre o capital inicial a cada período, então o total de juros acumulados é C\cdot i\cdot n. Somando isso ao capital inicial obtemos o montante: C + C\cdot i\cdot n = C(1+i n).

Passo 3

Converter o tempo para o mesmo período da taxa. A taxa é mensal, então transformamos 1 ano e meio em meses:
1\text{ ano e meio} = 1{,}5\text{ anos} = 1{,}5\times 12 = 18\text{ meses}.
Logo n = 18.

Passo 4

Substituir os valores conhecidos na fórmula. Temos i = 0{,}05, n = 18 e M = 35.530. Primeiro calculamos o fator 1 + i n:
i\,n = 0{,}05 \times 18 = 0{,}90,
1 + i\,n = 1 + 0{,}90 = 1{,}90.

Passo 5

Isolar C na fórmula M = C(1 + i n). Fazemos:
C = \frac{M}{1 + i\,n}.
Substituindo os números:
C = \frac{35.530}{1{,}90}.
Para facilitar a divisão sem calculadora, multiplico numerador e denominador por 10:
C = \frac{355.300}{19}.
Agora divido 355.300 por 19. Uma forma rápida é verificar se 19 \times 18.700 = 355.300:
Calcule 19 \times 18.700 = 19 \times 187 \times 100. Primeiro 19\times187 = (20-1)\times187 = 3.740 - 187 = 3.553. Multiplicando por 100 obtemos 355.300. Portanto a divisão é exata e
C = 18.700.

Passo 6

Verificação rápida (ajuda a confirmar que não erramos): calcular os juros e somar ao capital. Juros totais J = C\cdot i\cdot n:
J = 18.700 \times 0{,}05 \times 18 = 18.700 \times 0{,}90 = 16.830.
Montante M = C + J = 18.700 + 16.830 = 35.530, que é o montante dado no enunciado. Tudo bate certinho.

Resposta

R\$\,18.700{,}00

Exercícios relacionados