Um capital de R$ 1.000,00é aplicado a juros compostos com taxa de 5 \% ao ano. Qual será o montante após 2 anos?

Passo 1

O enunciado dá um capital inicial de R$ 1.000{,}00 aplicado a juros compostos com taxa de 5\% ao ano e pede o montante após 2 anos. Informações relevantes:
P = 1.000{,}00,\quad i = 5\% = 0{,}05,\quad n = 2.
A pergunta é: qual é o montante A depois de 2 anos?

Passo 2

Vamos apresentar a fórmula que usamos para calcular o montante em juros compostos e explicar cada símbolo. A fórmula é
A = P(1+i)^n.
Aqui:
  • A é o montante (capital + juros) após n períodos;
  • P é o capital inicial (principal);
  • i é a taxa de juros por período (em forma decimal);
  • n é o número de períodos (anos, neste caso).
    Essa fórmula diz que a cada período você multiplica o que tem por 1+i, porque ganha os juros de i sobre o valor atual.

Passo 3

Derivação curta e intuitiva (ajuda a entender como usar na prova): após 1 ano o montante é
A_1 = P(1+i),
pois recebe i sobre P. No segundo ano recebe i sobre A_1, então
A_2 = A_1(1+i) = P(1+i)(1+i) = P(1+i)^2.
Por isso, depois de n anos multiplica-se por (1+i)^n.

Passo 4

Substituímos os valores do enunciado na fórmula. Primeiro calculamos 1+i:
1+i = 1 + 0{,}05 = 1{,}05.
Agora elevamos ao quadrado (explico uma maneira rápida): (1{,}05)^2 = 1 + 2\cdot0{,}05 + (0{,}05)^2 = 1 + 0{,}10 + 0{,}0025 = 1{,}1025.

Passo 5

Multiplicamos pelo capital inicial:
A = P(1+i)^n = 1.000{,}00 \times 1{,}1025 = 1.102{,}50.
Cheque rápido por raciocínio alternativo (método ano a ano, útil na prova se esquecer a fórmula): primeiro ano: 1.000{,}00 + 5\% de 1.000{,}00 = 1.050{,}00. Segundo ano: 5\% de 1.050{,}00 é 52{,}50. Soma: 1.050{,}00 + 52{,}50 = 1.102{,}50. Confere com o cálculo direto.

Passo 6

Resumo final e incentivo: o montante cresce para R$ 1.102{,}50 em dois anos com juros compostos de 5\% ao ano. Mandou bem em procurar a solução passo a passo — isso é exatamente o que cai na prova!

Resposta

R$ 1.102{,}50

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