5- Uma pessoa compra um apartamento de \ 150.000 nas seguintes condições: entrada deçõ$50.000 mais determinado número de prestações mensais antecipadas deúçõ$ 1.338,99 cada, com um ano de carência para o início dos pagamentos. Considerando uma taxa de juros efetiva contratada deêí1 %$ a.m., calcular o número de prestações.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Preço do apartamento: \$150.000.
  • Entrada paga imediatamente: \$50.000.
  • Restante financiado: preço menos entrada (isto é, valor a ser financiado).
  • Prestações mensais antecipadas (anuidade antecipada) de \$1.338,99 cada.
  • Carência de um ano para o início dos pagamentos (ou seja, os pagamentos começam só depois de 12 meses).
  • Taxa de juros efetiva contratada: 1\% ao mês (ou seja, i=0,01 por mês).
  • Pergunta: calcular o número de prestações (quantas prestações serão pagas).

Passo 2

Entendimento financeiro e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Primeiro: o valor financiado é o preço menos a entrada. Então o valor que deve ser igual ao valor presente das prestações é
\text{valor financiado} = \$150.000 - \$50.000 = \$100.000.
  • Segunda: fórmulas de anualidade (séries de pagamentos iguais):
    • Para uma anuidade imediata (pagamentos no final de cada período) com n pagamentos de valor R e taxa i, o valor presente no instante imediatamente antes do primeiro pagamento é
    \text{PV}_{\text{imediata}} = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
    • Para uma anuidade antecipada (pagamentos no começo de cada período), o valor presente no instante em que ocorre o primeiro pagamento é maior em um fator (1+i). Logo
    \text{PV}_{\text{antecipada no tempo do 1º pgto}} = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\cdot(1+i).º
    • Se a anuidade for diferida (começa somente após um número inteiro de períodos de carência), então o PV no tempo zero é o PV no tempo do início dos pagamentos descontado pelos meses de carência. No nosso caso há carência de 12 meses e a anuidade é antecipada (primeiro pagamento no mês 12).

Passo 3

Montando a equação do problema.
  • Chamando R=\$1.338,99 e i=0,01, o valor presente no tempo do início dos pagamentos (isto é, no instante em que ocorre o primeiro pagamento) de uma anuidade antecipada com n prestações é
\text{PV}_{\text{no início}} = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\cdot(1+i).í
  • Como o início dos pagamentos está em 12 meses, o valor presente no tempo zero é esse valor descontado por 12 meses:
\text{PV}_0 = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\cdot(1+i)\cdot(1+i)^{-12}.
  • Simplificando o fator (1+i)\cdot(1+i)^{-12}=(1+i)^{-11}, obtemos a equação que liga n ao valor financiado (que é \$100.000):
\$100.000 = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\cdot(1+i)^{-11}.

Passo 4

Substituindo os números e isolando a expressão que contém n.
  • Substituições: R=\$1.338,99, i=0,01, 1+i=1,01. Primeiro calculemos R/i:
\frac{R}{i} = \frac{\$1.338,99}{0,01} = \$133.899.
  • Calculemos 1,01^{11} (vou mostrar os passos multiplicativos para você poder fazer sem calculadora se precisar):
1,01^2=1,0201,\quad 1,01^3=1,030301,\quad 1,01^4=1,04060301,
1,01^5\approx1,0510090401,\quad 1,01^6\approx1,061519130501,
1,01^7\approx1,07213432180601,\quad 1,01^8\approx1,08285566502407,
1,01^9\approx1,0936842216743107,\quad 1,01^{10}\approx1,1046210638910538,
1,01^{11}\approx1,1156672745299644.
Logo
(1,01)^{-11}=\frac{1}{1,01^{11}}\approx0,89636\quad(\text{aprox.}).
  • Agora o coeficiente que multiplica o colchete é
\frac{R}{i}\cdot(1+i)^{-11} \approx \$133.899\times0,89636 \approx \$120.016,96.
  • Assim a equação vira (apenas com números):
\$100.000 \approx \$120.016,96\cdot\bigl(1-(1,01)^{-n}\bigr).
  • Isolando a parte que depende de n:
1-(1,01)^{-n} \approx \frac{100.000}{120.016,96}\approx0,833225,
portanto
(1,01)^{-n} \approx 1-0,833225 = 0,166775.

Passo 5

Resolver para n usando logaritmos (a parte algébrica que você pode usar direto na prova).
  • Tomando log natural dos dois lados:
-n\ln(1,01)=\ln(0,166775).
  • Logo
n = -\frac{\ln(0,166775)}{\ln(1,01)}.
  • Cálculo aproximado dos logs:
\ln(0,166775)\approx-1,791109,\qquad \ln(1,01)\approx0,00995033.
  • Assim
n \approx \frac{1,791109}{0,00995033}\approx180,00.

Passo 6

Interpretação do resultado e verificação rápida.
  • Obtivemos n\approx180 meses. Como o número de prestações deve ser um inteiro, isso indica exatamente 180 prestações mensais.
  • 180 meses correspondem a 180/12=15 anos. Faz sentido financeiro: com aquela prestação e taxa a dívida de \$100.000 se extingue em 15 anos, começando os pagamentos após 1 ano de carência e com prestações antecipadas.

Resposta

180 prestações

Exercícios relacionados