5- Uma pessoa compra um apartamento de
150.000
$50.000
$ 1.338,99
1 %$ a.m., calcular o número de prestações.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Preço do apartamento:
. - Entrada paga imediatamente:
. - Restante financiado: preço menos entrada (isto é, valor a ser financiado).
- Prestações mensais antecipadas (anuidade antecipada) de
cada. - Carência de um ano para o início dos pagamentos (ou seja, os pagamentos começam só depois de 12 meses).
- Taxa de juros efetiva contratada:
ao mês (ou seja, por mês). - Pergunta: calcular o número de prestações (quantas prestações serão pagas).
Passo 2
Entendimento financeiro e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
- Primeiro: o valor financiado é o preço menos a entrada. Então o valor que deve ser igual ao valor presente das prestações é
- Segunda: fórmulas de anualidade (séries de pagamentos iguais):
- Para uma anuidade imediata (pagamentos no final de cada período) com
pagamentos de valor e taxa , o valor presente no instante imediatamente antes do primeiro pagamento é
- Para uma anuidade antecipada (pagamentos no começo de cada período), o valor presente no instante em que ocorre o primeiro pagamento é maior em um fator
. Logo
- Se a anuidade for diferida (começa somente após um número inteiro de períodos de carência), então o PV no tempo zero é o PV no tempo do início dos pagamentos descontado pelos meses de carência. No nosso caso há carência de 12 meses e a anuidade é antecipada (primeiro pagamento no mês 12).
- Para uma anuidade imediata (pagamentos no final de cada período) com
Passo 3
Montando a equação do problema.
- Chamando
e , o valor presente no tempo do início dos pagamentos (isto é, no instante em que ocorre o primeiro pagamento) de uma anuidade antecipada com prestações é
- Como o início dos pagamentos está em
meses, o valor presente no tempo zero é esse valor descontado por meses:
- Simplificando o fator
, obtemos a equação que liga ao valor financiado (que é ):
Passo 4
Substituindo os números e isolando a expressão que contém
.
- Substituições:
, , . Primeiro calculemos :
- Calculemos
(vou mostrar os passos multiplicativos para você poder fazer sem calculadora se precisar):
Logo
- Agora o coeficiente que multiplica o colchete é
- Assim a equação vira (apenas com números):
- Isolando a parte que depende de
:
portanto
Passo 5
Resolver para
usando logaritmos (a parte algébrica que você pode usar direto na prova).
- Tomando log natural dos dois lados:
- Logo
- Cálculo aproximado dos logs:
- Assim
Passo 6
Interpretação do resultado e verificação rápida.
- Obtivemos
meses. Como o número de prestações deve ser um inteiro, isso indica exatamente prestações mensais. -
meses correspondem a anos. Faz sentido financeiro: com aquela prestação e taxa a dívida de se extingue em 15 anos, começando os pagamentos após 1 ano de carência e com prestações antecipadas.
Resposta
180 prestações