7- Uma pessoa deseja comprar um automóvel de \ 15.000 daqui a três anos. Para tanto, hoje ela começou a fazer aplicações mensais iguais em um banco que paga uma taxa efetiva deêççõ2 %$ a.m. Qual deve ser o valor da aplicação mensal, de modo que possa comprar o veículo com o montante acumulado na data da última aplicação?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma quantia mensal a ser aplicada:
  • Valor que se quer ter acumulado ao final: \$15.000.
  • Prazo total até a compra: 3 anos, ou seja, 36 meses.
  • Taxa de juros efetiva por mês: 2\%, isto é, i=0,02 ao mês.
  • A pessoa faz aplicações mensais iguais (valor desconhecido que vamos chamar de R).
  • A pergunta: qual deve ser o valor mensal R de cada aplicação, de modo que o montante acumulado na data da última aplicação seja \$15.000?

Passo 2

Decidindo como modelar o problema (explicação para a prova — escolha do método):
  • A situação é um problema clássico de acúmulo de pagamentos iguais em conta com juros compostos. O conceito que usamos é o do montante (futuro) de uma série de pagamentos iguais.
  • Há uma ambiguidade no texto: “hoje ela começou a fazer aplicações” pode sugerir que a primeira aplicação foi feita imediatamente (no instante zero), o que caracterizaria uma série de pagamentos adiantados (anuidades devidas). Entretanto, o enunciado também pode ser interpretado como pagamentos mensais ao longo dos 36 meses com o objetivo de ter o montante na data da última aplicação (interpretação mais comum em provas é pagamentos no final de cada período).
  • Para ser consistente e usar o método mais básico (o que costumam cobrar primeiro), vou assumir que as aplicações são feitas no final de cada mês (anuidade imediata, também chamada de anuidade ordinária). Se a sua prova realmente pedir o caso “primeiro pagamento hoje” (anuidade devida), basta multiplicar o valor encontrado por (1+i) para adaptar — eu explico isso ao final, caso queira verificar.

Passo 3

Fórmula do montante (valor futuro) de uma anuidade imediata — aula rápida e derivação:
  • Suponha que cada pagamento seja R, a taxa por período seja i e o número de pagamentos seja n. Os pagamentos ocorrem ao final de cada período. O montante acumulado imediatamente após o último pagamento é a soma das acumulações de cada pagamento até aquele instante. Essa soma é uma progressão geométrica.
  • A fórmula bem conhecida (que vamos deduzir) é:
S = R\frac{(1+i)^{n}-1}{i}
onde:
  • S é o montante final (valor futuro desejado),
  • R é o valor de cada pagamento periódicos (que queremos achar),
  • i é a taxa por período (aqui 0,02),
  • n é o número de pagamentos (aqui 36).
Derivação curta (para você entender e poder reproduzir na prova): se os pagamentos são feitos nos instantes 1,2,\dots,n, o pagamento de um período k (valor R) acumula para o instante n com fator (1+i)^{\,n-k}. Somando para k=1 até n obtemos uma soma geométrica cujo resultado reduz exatamente à fórmula acima (multiplicando a soma por (1+i) e subtraindo obtém-se a expressão fechada).

Passo 4

Aplicando a fórmula aos dados do enunciado:
  • Identificamos: S = 15\,000, i = 0,02, n = 36. Queremos R. A fórmula isolada para R é:
R = S \cdot \frac{i}{(1+i)^{n}-1}.
  • Calculamos primeiro (1+i)^{n} = (1{,}02)^{36}. Uma forma prática (e o que normalmente se faz em prova usando calculadora financeira ou científica) é elevar 1{,}02 à potência 36. Para referência, um cálculo passo a passo de potências menores dá:
(1{,}02)^{12} \approx 1{,}2682417946,
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(1{,}02)^{36} = \big((1{,}02)^{12}\big)^3 \approx 1{,}2682417946^{\,3} \approx 2{,}039887.
(essa aproximação é suficiente para arredondar centavos depois).
  • Agora o denominador:
(1+i)^{n}-1 \approx 2{,}039887 - 1 = 1{,}039887.
  • Substituindo em R:
R = 15\,000 \cdot \frac{0{,}02}{1{,}039887} = \frac{300}{1{,}039887} \approx 288{,}49.

Passo 5

Interpretação e observação útil para a prova:
  • Resultado: a pessoa precisa aplicar aproximadamente \$288{,}49 por mês (pagamentos no final de cada mês) durante 36 meses para acumular \$15.000 ao final.
  • Se, no entanto, o enunciado realmente quisesse que o primeiro depósito fosse feito hoje (anuidade devida, pagamentos no início do período), o valor mensal necessário seria menor, e a relação entre anuidade devida ( R_{\text{devida}}) e anuidade imediata ( R_{\text{imediata}}) é:
R_{\text{devida}} = \frac{R_{\text{imediata}}}{1+i}.
Nesse caso, dividindo 288{,}49 por 1{,}02 obteríamos aproximadamente \$282{,}83 por mês (primeiro pagamento hoje). Use essa observação só se tiver certeza de que o pagamento inicial é “hoje”.

Resposta

\,R = \$288,49

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