7- Uma pessoa deseja comprar um automóvel de
15.000
2 %$ a.m. Qual deve ser o valor da aplicação mensal, de modo que possa comprar o veículo com o montante acumulado na data da última aplicação?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma quantia mensal a ser aplicada:
- Valor que se quer ter acumulado ao final:
. - Prazo total até a compra:
anos, ou seja, meses. - Taxa de juros efetiva por mês:
, isto é, ao mês. - A pessoa faz aplicações mensais iguais (valor desconhecido que vamos chamar de
). - A pergunta: qual deve ser o valor mensal
de cada aplicação, de modo que o montante acumulado na data da última aplicação seja ?
Passo 2
Decidindo como modelar o problema (explicação para a prova — escolha do método):
- A situação é um problema clássico de acúmulo de pagamentos iguais em conta com juros compostos. O conceito que usamos é o do montante (futuro) de uma série de pagamentos iguais.
- Há uma ambiguidade no texto: “hoje ela começou a fazer aplicações” pode sugerir que a primeira aplicação foi feita imediatamente (no instante zero), o que caracterizaria uma série de pagamentos adiantados (anuidades devidas). Entretanto, o enunciado também pode ser interpretado como pagamentos mensais ao longo dos 36 meses com o objetivo de ter o montante na data da última aplicação (interpretação mais comum em provas é pagamentos no final de cada período).
- Para ser consistente e usar o método mais básico (o que costumam cobrar primeiro), vou assumir que as aplicações são feitas no final de cada mês (anuidade imediata, também chamada de anuidade ordinária). Se a sua prova realmente pedir o caso “primeiro pagamento hoje” (anuidade devida), basta multiplicar o valor encontrado por
para adaptar — eu explico isso ao final, caso queira verificar.
Passo 3
Fórmula do montante (valor futuro) de uma anuidade imediata — aula rápida e derivação:
- Suponha que cada pagamento seja
, a taxa por período seja e o número de pagamentos seja . Os pagamentos ocorrem ao final de cada período. O montante acumulado imediatamente após o último pagamento é a soma das acumulações de cada pagamento até aquele instante. Essa soma é uma progressão geométrica. - A fórmula bem conhecida (que vamos deduzir) é:
onde:
-
é o montante final (valor futuro desejado), -
é o valor de cada pagamento periódicos (que queremos achar), -
é a taxa por período (aqui ), -
é o número de pagamentos (aqui ).
Derivação curta (para você entender e poder reproduzir na prova): se os pagamentos são feitos nos instantes
, o pagamento de um período
(valor
) acumula para o instante
com fator
. Somando para
até
obtemos uma soma geométrica cujo resultado reduz exatamente à fórmula acima (multiplicando a soma por
e subtraindo obtém-se a expressão fechada).
Passo 4
Aplicando a fórmula aos dados do enunciado:
- Identificamos:
, , . Queremos . A fórmula isolada para é:
- Calculamos primeiro
. Uma forma prática (e o que normalmente se faz em prova usando calculadora financeira ou científica) é elevar à potência . Para referência, um cálculo passo a passo de potências menores dá:
logo
(essa aproximação é suficiente para arredondar centavos depois).
- Agora o denominador:
- Substituindo em
:
Passo 5
Interpretação e observação útil para a prova:
- Resultado: a pessoa precisa aplicar aproximadamente
por mês (pagamentos no final de cada mês) durante meses para acumular ao final. - Se, no entanto, o enunciado realmente quisesse que o primeiro depósito fosse feito hoje (anuidade devida, pagamentos no início do período), o valor mensal necessário seria menor, e a relação entre anuidade devida (
) e anuidade imediata ( ) é:
Nesse caso, dividindo
por
obteríamos aproximadamente
por mês (primeiro pagamento hoje). Use essa observação só se tiver certeza de que o pagamento inicial é “hoje”.