Uma pessoa compra 5 bolas e 5 cubos de isopor, sendo indistinguiveis os objetos de mesma forma. Ela pretende pintar cada um dos objetos de uma cor, e vai usar as cores azul, vermelho e preto.
(a) De quantas maneiras ela pode fazer isso?
(b) De quantas maneiras ela pode fazer isso, usando cada cor pelo menos uma vez?
(a) De quantas maneiras ela pode fazer isso?
(b) De quantas maneiras ela pode fazer isso, usando cada cor pelo menos uma vez?
Passo 1
O enunciado pede para pintar
esferas idênticas e
cubos idênticos usando as cores azul, vermelho e preto. Na parte (a) não há restrição de uso mínimo de cor; na (b) cada cor deve aparecer pelo menos uma vez no conjunto todo. Vamos usar o princípio multiplicativo junto com estrelas-e-barras para contar distribuições de cores e depois, em (b), aplicar o princípio da inclusão-exclusão.
Passo 2
Contagem para as esferas: como são
objetos idênticos e temos
cores, o número de maneiras de distribuir as cores nas esferas é igual ao número de soluções não negativas de
o que vale
De modo análogo, para os cubos idênticos temos também
maneiras de usar as três cores.
De modo análogo, para os
maneiras de usar as três cores.
Passo 3
Pelo princípio multiplicativo, o total de pinturas sem restrição é
Passo 4
Agora a parte (b): queremos contar apenas as distribuições em que cada cor aparece ao menos uma vez no conjunto das
peças. Vamos usar inclusão-exclusão para “eliminar” as distribuições que deixam de usar alguma cor.
Passo 5
Conte quantas distribuições deixam de usar exatamente uma cor (digamos a cor
). Se a cor
não aparece nem em esferas nem em cubos, ficamos com
cores e
esferas, o que dá
formas para as esferas, e o mesmo para os cubos. Logo para uma cor faltante há distribuições. Como há
cores, o total a subtrair é
.
formas para as esferas, e o mesmo para os cubos. Logo para uma cor faltante há
Passo 6
Conte quantas distribuições deixam de usar exatamente duas cores (ou seja, usam apenas uma cor em todas as
peças). Para uma cor fixa, há só uma forma de pintar todas as esferas e uma forma de pintar todos os cubos, totalizando
. Como há
pares de cores faltantes, somamos
.
Passo 7
Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número de distribuições que usam todas as três cores é
Resposta
(a)
(b)
(b)