Uma pessoa compra 5 bolas e 5 cubos de isopor, sendo indistinguiveis os objetos de mesma forma. Ela pretende pintar cada um dos objetos de uma cor, e vai usar as cores azul, vermelho e preto.
(a) De quantas maneiras ela pode fazer isso?
(b) De quantas maneiras ela pode fazer isso, usando cada cor pelo menos uma vez?

Passo 1

O enunciado pede para pintar 5 esferas idênticas e 5 cubos idênticos usando as cores azul, vermelho e preto. Na parte (a) não há restrição de uso mínimo de cor; na (b) cada cor deve aparecer pelo menos uma vez no conjunto todo. Vamos usar o princípio multiplicativo junto com estrelas-e-barras para contar distribuições de cores e depois, em (b), aplicar o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Contagem para as esferas: como são 5 objetos idênticos e temos 3 cores, o número de maneiras de distribuir as cores nas esferas é igual ao número de soluções não negativas de
x1 + x2 + x3 = 5
o que vale
binom5 + 3 - 13 - 1 = binom72 = 21
De modo análogo, para os 5 cubos idênticos temos também
binom5 + 3 - 13 - 1 = binom72 = 21
maneiras de usar as três cores.

Passo 3

Pelo princípio multiplicativo, o total de pinturas sem restrição é
21 times 21 = 441

Passo 4

Agora a parte (b): queremos contar apenas as distribuições em que cada cor aparece ao menos uma vez no conjunto das 10 peças. Vamos usar inclusão-exclusão para “eliminar” as distribuições que deixam de usar alguma cor.

Passo 5

Conte quantas distribuições deixam de usar exatamente uma cor (digamos a cor i). Se a cor i não aparece nem em esferas nem em cubos, ficamos com 2 cores e 5 esferas, o que dá
binom5 + 2 - 12 - 1 = binom61 = 6
formas para as esferas, e o mesmo para os cubos. Logo para uma cor faltante há 6times6=36 distribuições. Como há 3 cores, o total a subtrair é 3times36=108.

Passo 6

Conte quantas distribuições deixam de usar exatamente duas cores (ou seja, usam apenas uma cor em todas as 10 peças). Para uma cor fixa, há só uma forma de pintar todas as esferas e uma forma de pintar todos os cubos, totalizando 1times1=1. Como há binom32=3 pares de cores faltantes, somamos 3times1=3.

Passo 7

Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número de distribuições que usam todas as três cores é
441 - 108 + 3 = 336

Resposta

(a) 441
(b) 336

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