Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 sen(pin)

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumn=1^+infty(-1)^n+1sin!l(pinr)
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos usar dois testes: o critério de Leibniz para séries alternadas (que nos diz quando uma série alternada converge) e um teste de comparação para a série dos módulos (para verificar convergência absoluta).

Passo 2

Aplique o critério de Leibniz. Defina
bn = sin!l(pinr)
Precisamos verificar três coisas:
  1. bn>0 para todo n.
  2. bn é decrescente.
  3. limntoinftybn=0.
    Como nmapsto1/n é decrescente e sin(x) é crescente em [0,pi], segue que bn decresce. E
limntoinftybn=limntoinftysin!l(pinr)=sin(0)=0
Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 3

Agora examinamos a convergência absoluta, ou seja, a série
sumn=1^+inftyl|sin!l(tfracpinr)r|
Para grandes n temos sin(x)sim x quando xto0. De fato
limntoinftysin(pi/n)1/n =limuto0sin uu,pi =pineq0,
portanto por comparação-limite com a série harmônica sum1/n (que diverge), conclui-se que
sumn=1^+inftyl|sin(tfracpin)r|
diverge. Logo a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Concluímos que a série converge pelo critério de Leibniz mas não converge absolutamente, isto é, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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