Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso vamos usar dois testes: o critério de Leibniz para séries alternadas (que nos diz quando uma série alternada converge) e um teste de comparação para a série dos módulos (para verificar convergência absoluta).
Passo 2
Aplique o critério de Leibniz. Defina
Precisamos verificar três coisas:
para todo .
é decrescente.
.
Como é decrescente e é crescente em , segue que decresce. E
Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 3
Agora examinamos a convergência absoluta, ou seja, a série
Para grandes n temos sin(x)sim x quando xto0. De fato