Uma pessoa, ao comprar um carro cujo preço à vista é \ 140.000 , teve seu usado avaliado em$60.000 e aceito como parte da prestação. O saldo devedor será pago em 20 parcelas mensais iguais a juros efetivos deçãá3 %$ a.m. Calcular o valor da prestação.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Preço à vista do carro: \$140.000.
  • Usado avaliado e aceito como parte do pagamento: \$60.000.
  • Saldo remanescente será parcelado em 20 prestações mensais iguais.
  • Juros efetivos mensais: 3\% (ou seja, i=3\% ao mês).
  • O enunciado pede: calcular o valor da prestação mensal (cada parcela igual).
Informações relevantes que vamos usar (peguei os números do enunciado):
  • P_{\text{à vista}}=\$140.000à.
  • Avaliação do usado = \$60.000.
  • Número de parcelas n=20.
  • Taxa mensal i=3\%=0,03.

Passo 2

Qual a ideia matemática por trás das prestações iguais (anuidade)?
Quando se faz um financiamento com parcelas mensais iguais R, o valor presente (o saldo devedor no início) é a soma dos valores presentes de todas as parcelas futuras. Cada parcela R paga no final do mês k vale hoje (em valor presente) \dfrac{R}{(1+i)^k}. Então o saldo devedor PV satisfaz:
PV=\sum_{k=1}^{n}\frac{R}{(1+i)^k}.
Essa soma é uma série geométrica. Para facilitar, defina o fator de desconto
v=\frac{1}{1+i}.
Então
PV=R\sum_{k=1}^{n}v^{k}=R\big(v+v^{2}+\cdots+v^{n}\big).
A soma da série geométrica v+v^{2}+\cdots+v^{n} é
\sum_{k=1}^{n}v^{k}=v\frac{1-v^{n}}{1-v}.
Substituindo v=\dfrac{1}{1+i} e simplificando \dfrac{v}{1-v}=\dfrac{1}{i}, obtemos a fórmula padrão da anuidade imediata:
PV=R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Isolando R (a prestação), vem
R=PV\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Explicando as variáveis:
  • PV é o valor atual do empréstimo (saldo a financiar).
  • R é a prestação mensal que queremos.
  • i é a taxa de juros por período (mensal).
  • n é o número de parcelas.

Passo 3

Determinar o saldo a ser financiado (valor presente PV).
O comprador dá o usado de \$60.000 como entrada para um carro de \$140.000, então o saldo a financiar é
PV=\$140.000-\$60.000=\$80.000.

Passo 4

Aplicar a fórmula da anuidade com PV=\$80.000, i=0,03 e n=20.
Primeiro calculemos (1+i)^{n}=(1{,}03)^{20}. Podemos calcular iterativamente:
\begin{aligned} (1{,}03)^{1}&=1{,}03,\\\ (1{,}03)^{2}&=1{,}0609,\\\ (1{,}03)^{4}&\approx1{,}12550881,\\\ (1{,}03)^{5}&\approx1{,}1592740743,\\\ (1{,}03)^{10}&\approx1{,}3439163793441218,\\\ (1{,}03)^{20}&\approx\big((1{,}03)^{10}\big)^{2}\approx1{,}8061112337198047. \end{aligned}
Então
(1+i)^{-n}=(1{,}03)^{-20}\approx\frac{1}{1{,}8061112337198047}\approx0{,}553676407081.

Passo 5

Calcular o fator da anuidade e a prestação R.
O denominador da fórmula é 1-(1+i)^{-n}:
1-(1{,}03)^{-20}\approx 1-0{,}553676407081=0{,}446323592919.
Assim o fator \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}} vale
\frac{0{,}03}{0{,}446323592919}\approx 0{,}0672158309.
Portanto a prestação é
R=PV\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}\approx 80.000\times0{,}0672158309\approx \$5.377{,}27.
(Para conferir de outra maneira: a anuidade \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\approx14{,}8774530973 e R=\dfrac{80.000}{14{,}8774530973}\approx\$5.377{,}27.)

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: a receita é sempre a mesma — calcular o saldo a financiar, identificar i e n, aplicar
R=PV\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Se der para usar calculadora financeira ou uma calculadora comum, calcule (1+i)^{-n} e aplique a fórmula; se estiver sem calculadora, faça potências por quadratura e somas como mostrado.

Resposta

\$5.377,27

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