Uma pessoa tem uma dívida formada por três parcelas com vencimentos daqui a 2 meses, 4 meses e 6 meses com os valores de
800, $500 e $ 100
2 %$ ao mês. O credor sugere que a dívida seja liquidada nas seguintes condições:
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados:
- Três parcelas da dívida com vencimentos e valores:
- parcela 1:
com vencimento daqui a meses; - parcela 2:
com vencimento daqui a meses; - parcela 3:
com vencimento daqui a meses.
- parcela 1:
- Taxa de juros composta:
ao mês, isto é .
O enunciado começa a dizer “O credor sugere que a dívida seja liquidada nas seguintes condições:”, mas as condições sugeridas (por exemplo, um pagamento único em certa data, ou parcelas diferentes, ou abatimento, etc.) NÃO foram fornecidas no texto que chegou aqui. Sem essas condições propostas pelo credor não é possível calcular se a proposta é equivalente, vantajosa ou não.
Passo 2
Mesmo sem a proposta específica, vou te ensinar passo a passo o método que é usado nestes problemas (é o que o professor costuma cobrar). Primeira coisa: o princípio da equivalência financeira — para comparar dívidas (ou propostas de pagamento) traz-se todos os valores para UMA mesma data (pode ser o presente, ou uma data futura escolhida). Para isso usamos a capitalização composta.
As fórmulas básicas (e o que cada símbolo significa):
- Capitalização (valor futuro):
-
é o valor presente (ou valor na data de referência), -
é a taxa por período (aqui ), -
é o número de períodos (meses) entre a data de e a data de , -
é o valor equivalente na data futura.
-
- Desconto (valor presente):
- Aqui
é um valor conhecido em uma data futura; dividindo por obtemos seu valor equivalente na data anterior.
- Aqui
Regra prática: para verificar uma proposta do credor:
- Escolha uma data de referência (por exemplo, hoje = mês 0, ou o último vencimento).
- Traga todas as parcelas originais para essa data (fazendo desconto se a data de referência for anterior às parcelas, ou capitalizando se for posterior).
- Traga a(s) parcela(s) propostas pelo credor para a mesma data de referência.
- Compare os valores: se o valor proposto (na data de referência) for igual ao valor original (na mesma data), são equivalentes; se for menor, é vantagem para quem paga; se for maior, é vantagem para o credor.
Passo 3
Vamos aplicar o procedimento em concreto trazendo todas as três parcelas para a data de hoje (mês
), calculando o valor presente equivalente da dívida total — isso te permite comparar qualquer proposta: basta trazer a proposta para hoje e comparar com esse valor presente.
Aplique a fórmula de desconto para cada parcela:
- Para a parcela de
com meses: - Para a parcela de
com meses: - Para a parcela de
com meses:
Passo 4
Calculemos passo a passo os termos
:
Passo 5
Agora calculamos cada valor presente (vou mostrar as contas e o arredondamento final a centavos):
-
Para
: (explicação rápida:.) -
Para
: (verificação:.) -
Para
: (verificação:.)
Passo 6
Somando os valores presentes obtidos, temos o valor presente total da dívida hoje:
Interpretação: pagar hoje
equivale, financeiramente, a quitar as três parcelas nas datas originais com juros de
ao mês.
Nota útil: se preferires trabalhar comparando tudo numa data futura (por exemplo, mês 6), compõe cada parcela até o mês 6:
- 800 (vencimento mês 2) capitalizado 4 meses:
. - 500 (vencimento mês 4) capitalizado 2 meses:
. - 100 (mês 6) fica
.
Somando:. Ou seja, pagar ao final do mês 6 é equivalente à dívida original.
Passo 7
Como usar isso para avaliar qualquer proposta do credor (passo a passo prático na prova):
- Identifica a data da(s) parcela(s) proposta(s).
- Traz a proposta para a mesma data de referência que usaste para a dívida original (por exemplo, hoje). Se a proposta for pagamento único no mês
, transforma esse valor em presente por . - Compara os dois valores (ambos na mesma data). Se a proposta tiver o mesmo valor, é equivalente; se for menor, é vantagem para quem paga; se maior, vantagem para o credor.
- Se a proposta envolver várias parcelas, traz cada parcela para a data de referência e soma.
Exemplo rápido ilustrativo: se o credor propuser pagar única parcela hoje de
, compara com
. Como
, essa proposta seria desfavorável ao credor (e vantajosa para quem paga). Se o credor propuser pagar
no mês 6, isto é exatamente equivalente (como mostramos no Passo 6). Esse é o tipo de comparação que a prova costuma pedir.
Passo 8
Resumo final do que fiz e do que falta:
- Calculei o valor presente da dívida nas condições dadas:
. - Também calculei o valor futuro na data do último vencimento (mês 6):
. - Não posso dizer se a proposta do credor é aceitável porque as “condições sugeridas” não foram fornecidas. Com as duas quantias acima podes, rapidamente na prova, comparar qualquer proposta que te derem: traz a proposta à mesma data (hoje ou mês 6) e compare.
Resposta
Não é possível concluir se a proposta do credor é aceitável porque as condições sugeridas pelo credor não foram fornecidas; informação insuficiente.