Um estudante, ao entrar na Universidade, deseja acumular \ 100.000 ao longo de sua graduação, que pretende cursar em 5 anos. Quanto deverá depositar mensalmente na poupança, recebendo juros deçãáç7,2 %$ ao ano? (Obs. Lembre-se que na poupança as capitalizações são mensais)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • O objetivo é descobrir quanto o estudante deve depositar mensalmente para acumular \$100.000 ao fim do curso de \,5 anos.
  • Dados fornecidos:
    • Valor futuro desejado: \$100.000.
    • Prazo total: \,5 anos.
    • Taxa de juros nominal anual: \,7{,}2\% ao ano.
    • Observação: as capitalizações são mensais (ou seja, os juros são aplicados todo mês).
  • Pergunta a responder: qual é o depósito mensal R (assumindo depósitos no final de cada mês) que gera \$100.000 após \,5 anos?

Passo 2

Converter a taxa anual para taxa mensal e calcular o número total de depósitos:
  • A taxa anual fornecida é \,7{,}2\% ao ano, isto é \,0{,}072 em forma decimal. Como as capitalizações são mensais e o enunciado indica a taxa anual com capitalização mensal, a taxa mensal efetiva é
i=\frac{0{,}072}{12}=0{,}006.
Isso significa i=0{,}6\% por mês.
  • O número total de depósitos (meses) em \,5 anos é
n=5\times 12=60.

Passo 3

Entender o modelo matemático (fórmula do valor futuro de uma anuidade ordinária) e derivá-lo passo a passo:
  • Suponha que a cada mês seja depositado o mesmo valor R no final do mês. O depósito feito no final do primeiro mês ficará investido por n-1 meses até o fim, o depósito do segundo mês ficará investido por n-2 meses, e assim por diante, até o último depósito que não rende (fica investido 0 meses).
  • O valor futuro (acumulado) depois de n depósitos é a soma das parcelas atualizadas:
FV = R(1+i)^{\,n-1} + R(1+i)^{\,n-2} + \cdots + R(1+i) + R.
  • Fatorando R e reconhecendo uma progressão geométrica:
FV = R\sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^k.
  • A soma de uma progressão geométrica com razão 1+i é
\sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^k = \frac{(1+i)^n - 1}{(1+i)-1} = \frac{(1+i)^n - 1}{i}.
  • Portanto a fórmula conhecida do valor futuro de uma anuidade ordinária é
FV = R\,\frac{(1+i)^n - 1}{i}.
Aqui:
  • FV é o valor futuro desejado ( \$100.000);
  • R é o depósito periódico (mensal) que queremos achar;
  • i é a taxa por período (mensal);
  • n é o número de períodos (meses).

Passo 4

Isolar R na fórmula para encontrar quanto depositar por mês:
  • A partir de
FV = R\,\frac{(1+i)^n - 1}{i},
isolamos R:
R = FV\cdot\frac{i}{(1+i)^n - 1}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo:
  • Temos \,FV=\$100.000, \,i=0{,}006 e \,n=60. Primeiro calculamos (1+i)^n:
(1+i)^n = (1{,}006)^{60}.
  • Para estimar (1{,}006)^{60} pode-se usar a exponenciação via logaritmo ou aproximação exponencial. Um cálculo com precisão suficiente dá
(1{,}006)^{60}\approx 1{,}43185.
  • Então
(1+i)^n - 1 \approx 1{,}43185 - 1 = 0{,}43185.
  • Agora calcular R:
R = 100000\cdot\frac{0{,}006}{0{,}43185}.
  • Calcule o numerador e a divisão:
100000\cdot 0{,}006 = 600,
R \approx \frac{600}{0{,}43185}\approx 1389{,}29.

Passo 6

Interpretar o resultado e comentar sobre arredondamento:
  • O valor encontrado significa que, depositando aproximadamente \$1.389{,}29 ao final de cada mês durante \,5 anos, com juros de \,7{,}2\% ao ano capitalizados mensalmente, o saldo acumulado será aproximadamente \$100.000.
  • Em uma prova ou na prática financeira, pode-se arredondar para centavos: \$1.389{,}29 por mês. Se preferir simplificar, arredonde para \$1.389{,}30 por mês (pequena diferença no resultado final).

Resposta

\$1.389{,}29 por mês.

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