Um estudante, ao entrar na Universidade, deseja acumular
100.000
7,2 %$ ao ano? (Obs. Lembre-se que na poupança as capitalizações são mensais)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- O objetivo é descobrir quanto o estudante deve depositar mensalmente para acumular
ao fim do curso de anos. - Dados fornecidos:
- Valor futuro desejado:
. - Prazo total:
anos. - Taxa de juros nominal anual:
ao ano. - Observação: as capitalizações são mensais (ou seja, os juros são aplicados todo mês).
- Valor futuro desejado:
- Pergunta a responder: qual é o depósito mensal
(assumindo depósitos no final de cada mês) que gera após anos?
Passo 2
Converter a taxa anual para taxa mensal e calcular o número total de depósitos:
- A taxa anual fornecida é
ao ano, isto é em forma decimal. Como as capitalizações são mensais e o enunciado indica a taxa anual com capitalização mensal, a taxa mensal efetiva é
Isso significa
por mês.
- O número total de depósitos (meses) em
anos é
Passo 3
Entender o modelo matemático (fórmula do valor futuro de uma anuidade ordinária) e derivá-lo passo a passo:
- Suponha que a cada mês seja depositado o mesmo valor
no final do mês. O depósito feito no final do primeiro mês ficará investido por meses até o fim, o depósito do segundo mês ficará investido por meses, e assim por diante, até o último depósito que não rende (fica investido 0 meses). - O valor futuro (acumulado) depois de
depósitos é a soma das parcelas atualizadas:
- Fatorando
e reconhecendo uma progressão geométrica:
- A soma de uma progressão geométrica com razão
é
- Portanto a fórmula conhecida do valor futuro de uma anuidade ordinária é
Aqui:
-
é o valor futuro desejado ( ); -
é o depósito periódico (mensal) que queremos achar; -
é a taxa por período (mensal); -
é o número de períodos (meses).
Passo 4
Isolar
na fórmula para encontrar quanto depositar por mês:
- A partir de
isolamos
:
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo:
- Temos
, e . Primeiro calculamos :
- Para estimar
pode-se usar a exponenciação via logaritmo ou aproximação exponencial. Um cálculo com precisão suficiente dá
- Então
- Agora calcular
:
- Calcule o numerador e a divisão:
Passo 6
Interpretar o resultado e comentar sobre arredondamento:
- O valor encontrado significa que, depositando aproximadamente
ao final de cada mês durante anos, com juros de ao ano capitalizados mensalmente, o saldo acumulado será aproximadamente . - Em uma prova ou na prática financeira, pode-se arredondar para centavos:
por mês. Se preferir simplificar, arredonde para por mês (pequena diferença no resultado final).