Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicações no mercado financeiro. Para tanto, aplica 60 \% do capital numa alternativa de investimento que paga 34,2 \% ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias. A outra parte é invertida numa conta de poupança por 30 dias, sendo remunerada pela taxa linear de 3,1 \% ao mês. O total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atinge \ 1.562,40$. Pede-se calcular o valor de todo o capital investido.

Passo 1

Vamos deixar muito claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O poupador tem um capital total que vamos chamar de C.
  • Ele aplica 60\% desse capital numa aplicação que paga 34{,}2\% ao ano, juros simples, por um prazo de 60 dias.
  • O restante, ou seja 40\% do capital, é aplicado numa conta que paga 3{,}1\% ao mês (taxa linear) por 30 dias.
  • O total dos rendimentos (juros) obtidos nas duas aplicações juntos é \$\,1\,562{,}40.
  • O que se pede: calcular o valor do capital total C.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a fórmula básica dos juros simples, porque ela é a ferramenta que vamos usar.
A fórmula dos juros simples é
I = P \cdot r \cdot t,
onde:
  • I é o valor dos juros obtidos no período;
  • P é o principal (o valor aplicado);
  • r é a taxa por unidade de tempo (expressa em decimal; por exemplo 34{,}2\% ao ano vira 0,342 ao ano);
  • t é o tempo decorrido medido nas mesmas unidades usadas em r (se r é ao ano, t tem que estar em anos).
Explicando de forma simples: multiplicamos quanto foi aplicado pelo quanto a taxa “produz” por tempo, e pronto — isso dá os juros. Não tem exponenciais nem logaritmos, é a conta direta.

Passo 3

Precisamos colocar todas as taxas e tempos na mesma unidade de tempo. O problema nos deu:
  • taxa anual 34{,}2\% e prazo 60 dias;
  • taxa mensal 3{,}1\% e prazo 30 dias.
Para converter dias em anos e meses em anos, vamos usar a convenção comercial muito usada em problemas de juros simples: considerar o ano comercial de 360 dias e o mês de 30 dias. Isso faz 60 dias = 2 meses = \tfrac{2}{12}=\tfrac{1}{6} ano, e 30 dias = 1 mês. Usamos isso porque o enunciado deu taxa ao ano e taxa ao mês e prazos em dias, e essa conversão torna os cálculos diretos (e é padrão em muitos exercícios).

Passo 4

Calcular o juro produzido pela parte 60\% do capital.
  • A parte aplicada é P_1 = 0{,}6C (porque 60\%=0{,}6).
  • A taxa anual é r_1 = 34{,}2\% = 0{,}342 ao ano.
  • O tempo em anos é t_1 = \dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6} ano.
Pelo juros simples:
I_1 = P_1 \cdot r_1 \cdot t_1.
Substituindo:
I_1 = 0{,}6C \cdot 0{,}342 \cdot \frac{1}{6}.
Fazendo as multiplicações de constantes:
0{,}342\cdot\frac{1}{6}=0{,}057,
e
0{,}6\cdot 0{,}057 = 0{,}0342.
Portanto
I_1 = 0{,}0342\,C.

Passo 5

Calcular o juro produzido pela parte 40\% do capital.
  • A parte aplicada é P_2 = 0{,}4C.
  • A taxa mensal é r_{\text{mês}} = 3{,}1\% = 0{,}031ê por mês.
  • O prazo é 30 dias = 1 mês, portanto t_2 = 1 mês (ou, em anos, 1/12 ano — mas como a taxa já é mensal usamos meses).
Pelo juros simples (em meses):
I_2 = P_2 \cdot r_{\text{mês}} \cdot t_2.ê
Substituindo:
I_2 = 0{,}4C \cdot 0{,}031 \cdot 1 = 0{,}4C\cdot 0{,}031.
Fazendo a multiplicação:
0{,}4\cdot 0{,}031 = 0{,}0124,
logo
I_2 = 0{,}0124\,C.

Passo 6

Somar os juros das duas aplicações e igualar ao total dado.
O total dos rendimentos é
I = I_1 + I_2 = 0{,}0342\,C + 0{,}0124\,C = 0{,}0466\,C.
O enunciado nos diz que esse total é \$\,1\,562{,}40. Assim
0{,}0466\,C = 1\,562{,}40.
Agora resolvemos para C:
C = \frac{1\,562{,}40}{0{,}0466}.

Passo 7

Fazer a divisão sem pular etapas (modo manual/computacional):
Multiplicamos numerador e denominador por 10\,000 para eliminar casas decimais:
C = \frac{1\,562{,}40}{0{,}0466} = \frac{15\,624\,000}{466}.
Agora dividimos 15\,624\,000 por 466:
  • 466 \times 33\,527 = 15\,623\,582.
  • Resto = 15\,624\,000 - 15\,623\,582 = 418.
Logo a parte inteira é 33\,527 e o resto é 418, então a parte decimal é \dfrac{418}{466}.
Simplificando \dfrac{418}{466}=\dfrac{209}{233}. Aproximando essa fração:
\frac{209}{233}\approx 0{,}897.
Portanto
C \approx 33\,527{,}897.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), como é prática em valores monetários,
C \approx \$\,33\,527{,}90.

Passo 8

Cheque rápido (para confiança):
  • Juros da primeira aplicação: I_1 = 0{,}0342\times 33\,527{,}90 \approx 1\,146{,}66.
  • Juros da segunda: I_2 = 0{,}0124\times 33\,527{,}90 \approx 415{,}74.
  • Soma: 1\,146{,}66 + 415{,}74 = 1\,562{,}40, que é exatamente o total dado (com pequenas diferenças por arredondamento), portanto o resultado está coerente.

Resposta

$,33,527{,}90

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