Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicações no mercado financeiro. Para tanto, aplica
do capital numa alternativa de investimento que paga
ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias. A outra parte é invertida numa conta de poupança por 30 dias, sendo remunerada pela taxa linear de
ao mês. O total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atinge
1.562,40$. Pede-se calcular o valor de todo o capital investido.
Passo 1
Vamos deixar muito claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O poupador tem um capital total que vamos chamar de
. - Ele aplica
desse capital numa aplicação que paga ao ano, juros simples, por um prazo de dias. - O restante, ou seja
do capital, é aplicado numa conta que paga ao mês (taxa linear) por dias. - O total dos rendimentos (juros) obtidos nas duas aplicações juntos é
. - O que se pede: calcular o valor do capital total
.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a fórmula básica dos juros simples, porque ela é a ferramenta que vamos usar.
A fórmula dos juros simples é
onde:
-
é o valor dos juros obtidos no período; -
é o principal (o valor aplicado); -
é a taxa por unidade de tempo (expressa em decimal; por exemplo ao ano vira ao ano); -
é o tempo decorrido medido nas mesmas unidades usadas em (se é ao ano, tem que estar em anos).
Explicando de forma simples: multiplicamos quanto foi aplicado pelo quanto a taxa “produz” por tempo, e pronto — isso dá os juros. Não tem exponenciais nem logaritmos, é a conta direta.
Passo 3
Precisamos colocar todas as taxas e tempos na mesma unidade de tempo. O problema nos deu:
- taxa anual
e prazo dias; - taxa mensal
e prazo dias.
Para converter dias em anos e meses em anos, vamos usar a convenção comercial muito usada em problemas de juros simples: considerar o ano comercial de
dias e o mês de
dias. Isso faz
dias =
meses =
ano, e
dias =
mês. Usamos isso porque o enunciado deu taxa ao ano e taxa ao mês e prazos em dias, e essa conversão torna os cálculos diretos (e é padrão em muitos exercícios).
Passo 4
Calcular o juro produzido pela parte
do capital.
- A parte aplicada é
(porque ). - A taxa anual é
ao ano. - O tempo em anos é
ano.
Pelo juros simples:
Substituindo:
Fazendo as multiplicações de constantes:
e
Portanto
Passo 5
Calcular o juro produzido pela parte
do capital.
- A parte aplicada é
. - A taxa mensal é
por mês. - O prazo é
dias = mês, portanto mês (ou, em anos, ano — mas como a taxa já é mensal usamos meses).
Pelo juros simples (em meses):
Substituindo:
Fazendo a multiplicação:
logo
Passo 6
Somar os juros das duas aplicações e igualar ao total dado.
O total dos rendimentos é
O enunciado nos diz que esse total é
. Assim
Agora resolvemos para
:
Passo 7
Fazer a divisão sem pular etapas (modo manual/computacional):
Multiplicamos numerador e denominador por
para eliminar casas decimais:
Agora dividimos
por
:
-
. - Resto =
.
Logo a parte inteira é
e o resto é
, então a parte decimal é
.
Simplificando
. Aproximando essa fração:
Portanto
Arredondando para centavos (duas casas decimais), como é prática em valores monetários,
Passo 8
Cheque rápido (para confiança):
- Juros da primeira aplicação:
. - Juros da segunda:
. - Soma:
, que é exatamente o total dado (com pequenas diferenças por arredondamento), portanto o resultado está coerente.
Resposta
$,33,527{,}90