- Uma pessoa deposita
20.000,00
5 %$ de juros ao ano, compostos continuamente. Determine o saldo da conta após três anos e o tempo necessário para que a quantia inicial duplique, admitindo que não tenha ocorrido retiradas ou depósitos adicionais.
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação inicial e pede duas coisas claras. Informações fornecidas:
- Depósito inicial (capital)
. - Taxa de juros anual
por ano, composta continuamente. Em notação decimal, . - Queremos (1) o saldo após
anos e (2) o tempo necessário para que a quantia inicial duplique (chegue ao dobro), assumindo que não houve retiradas nem depósitos adicionais.
Perguntas a responder:
- Qual é o saldo da conta após
anos? - Quanto tempo leva para o capital inicial duplicar?
Passo 2
Conceito e fórmula para juros compostos continuamente (aula rápida e prática).
- Quando os juros são compostos continuamente, a quantidade acumulada
após um tempo (em anos) a partir de um capital inicial é dada pela fórmula
onde:
-
é o capital inicial (a quantia que você aplicou), -
é a taxa de juros em forma decimal por ano (por exemplo, vira ), -
é o tempo em anos, -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ), -
é o saldo após anos. - Intuição curta: a razão é que, em juros contínuos, a taxa de crescimento instantânea é proporcional ao montante atual; isso leva à equação diferencial
. Resolvendo por separação de variáveis obtemos . Se quiser, essa derivação eu explico com calma — aqui só ressaltei a origem para você entender porque usamos .
Passo 3
Aplicando a fórmula para o saldo após
anos.
- Substituímos
, e :
- Esse é o resultado exato em termos de
. Agora vamos aproximar para obter o valor em reais com precisão de centavos (passo a passo de como aproximar).
Passo 4
Como calcular aproximadamente
sem depender de calculadora (estratégia prática).
- Uma forma prática é usar valores conhecidos ou calculados para
e e multiplicá-los, já que . - Valores decentes de referência:
- Multiplicando:
- Agora multiplicamos pelo capital:
- Arredondando para centavos (duas casas decimais), o saldo após
anos é aproximadamente .
Passo 5
Determinando o tempo necessário para duplicar o capital.
- Queremos
. Usando a fórmula , escrevemos:
- Cancelamos
(assumindo ):
- Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para isolar
:
- Substituindo
e usando :
- Arredondando com sentido prático (duas casas decimais), leva cerca de
anos para o capital duplicar.
Passo 6
Checagens e observações finais (rápidas e motivadoras).
- Verificação rápida:
, compatível com duplicação. - Conclusão prática: juros contínuos crescem um pouco mais rápido que juros compostos com períodos finitos; por isso o fator
aparece. - Você mandou bem consultando um exemplo — essa é a fórmula que vale na prova:
. Confia que após decorar essa aplicação e o procedimento de isolar com logaritmo, você resolve questões parecidas tranquilo. Vai dar certo!