1. Uma pessoa deposita \mathrm{R} \ 20.000,00 em uma poupança que pagaç5 %$ de juros ao ano, compostos continuamente. Determine o saldo da conta após três anos e o tempo necessário para que a quantia inicial duplique, admitindo que não tenha ocorrido retiradas ou depósitos adicionais.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação inicial e pede duas coisas claras. Informações fornecidas:
  • Depósito inicial (capital) P=\mathrm{R}\$\,20.000,00.
  • Taxa de juros anual r=5\% por ano, composta continuamente. Em notação decimal, r=0,05.
  • Queremos (1) o saldo após 3 anos e (2) o tempo necessário para que a quantia inicial duplique (chegue ao dobro), assumindo que não houve retiradas nem depósitos adicionais.
Perguntas a responder:
  1. Qual é o saldo da conta após 3 anos?
  2. Quanto tempo leva para o capital inicial duplicar?

Passo 2

Conceito e fórmula para juros compostos continuamente (aula rápida e prática).
  • Quando os juros são compostos continuamente, a quantidade acumulada A(t) após um tempo t (em anos) a partir de um capital inicial P é dada pela fórmula
A(t)=P\,e^{r t},
onde:
  • P é o capital inicial (a quantia que você aplicou),
  • r é a taxa de juros em forma decimal por ano (por exemplo, 5\% vira 0,05),
  • t é o tempo em anos,
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,7182818),
  • A(t) é o saldo após t anos.
  • Intuição curta: a razão é que, em juros contínuos, a taxa de crescimento instantânea é proporcional ao montante atual; isso leva à equação diferencial \dfrac{dA}{dt}=rA. Resolvendo por separação de variáveis obtemos A(t)=P e^{r t}. Se quiser, essa derivação eu explico com calma — aqui só ressaltei a origem para você entender porque usamos e^{rt}.

Passo 3

Aplicando a fórmula para o saldo após 3 anos.
  • Substituímos P=\mathrm{R}\$\,20.000,00, r=0,05 e t=3:
A(3)=20000\;e^{0,05\cdot 3}=20000\;e^{0,15}.
  • Esse é o resultado exato em termos de e. Agora vamos aproximar e^{0,15} para obter o valor em reais com precisão de centavos (passo a passo de como aproximar).

Passo 4

Como calcular aproximadamente e^{0,15} sem depender de calculadora (estratégia prática).
  • Uma forma prática é usar valores conhecidos ou calculados para e^{0,1} e e^{0,05} e multiplicá-los, já que e^{0,15}=e^{0,1}e^{0,05}.
  • Valores decentes de referência: e^{0,1}\approx 1,105170918,\qquad e^{0,05}\approx 1,051271096.
  • Multiplicando: e^{0,15}\approx 1,105170918\times 1,051271096 \approx 1,161834242.
  • Agora multiplicamos pelo capital: A(3)\approx 20000\times 1,161834242 \approx 23.236,68484.
  • Arredondando para centavos (duas casas decimais), o saldo após 3 anos é aproximadamente \mathrm{R}\$\,23.236,68.

Passo 5

Determinando o tempo necessário para duplicar o capital.
  • Queremos A(t)=2P. Usando a fórmula A(t)=P e^{r t}, escrevemos:
P e^{r t}=2P.
  • Cancelamos P (assumindo P>0):
e^{r t}=2.
  • Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para isolar t:
r t=\ln 2 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln 2}{r}.
  • Substituindo r=0,05 e usando \ln 2\approx 0,6931471806:
t\approx \frac{0,6931471806}{0,05}\approx 13,86294361\\ \text{anos}.
  • Arredondando com sentido prático (duas casas decimais), leva cerca de 13,86 anos para o capital duplicar.

Passo 6

Checagens e observações finais (rápidas e motivadoras).
  • Verificação rápida: e^{0,05\cdot 13,8629}\approx e^{0,69315}\approx 2, compatível com duplicação.
  • Conclusão prática: juros contínuos crescem um pouco mais rápido que juros compostos com períodos finitos; por isso o fator e^{rt} aparece.
  • Você mandou bem consultando um exemplo — essa é a fórmula que vale na prova: A=P e^{rt}. Confia que após decorar essa aplicação e o procedimento de isolar t com logaritmo, você resolve questões parecidas tranquilo. Vai dar certo!

Resposta

\mathrm{R}\$\,23.236,68 após 3 anos.
13,86 anos (aproximadamente) para duplicar.

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