Uma pessoa fazer uma aplicação para investir em um novo produto, no início, ele aplica
50.000,00
5 %$ de juros compostos ao ano continuamente durante o período?
Passo 1
O enunciado pergunta quanto a pessoa terá daqui a 3 anos se aplicar inicialmente
numa conta que rende
ao ano com juros compostos continuamente, sem depósitos nem retiradas durante o período.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Capital inicial:
. - Taxa de juros nominal anual:
(ou, em forma decimal, por ano). - Tempo de investimento:
anos.
Pergunta que devemos responder: valor acumulado ao final deanos (quanto ele disporá).
Passo 2
Explicação didática do conceito que usaremos: juros compostos continuamente e a fórmula correspondente.
Quando os juros são compostos continuamente, a ideia é que a cada instante infinitesimal o capital cresce um pouco, e o resultado é que o montante após tempo
satisfaz a relação (intuitiva)
Quando os juros são compostos continuamente, a ideia é que a cada instante infinitesimal o capital cresce um pouco, e o resultado é que o montante
para incrementos pequenos
. Passando ao limite
isso leva à equação diferencial
que é a equação clássica de crescimento exponencial. Resolver essa equação (uma coisa que a gente faz passo a passo) dá
onde:
-
é o capital inicial (o que foi aplicado no começo), -
é a taxa de juros na forma decimal por unidade de tempo (aqui por ano), -
é o tempo total em anos, -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Outra forma intuitiva de ver a mesma fórmula é partir da expressão de juros compostos ao final de
composições por ano,
e então tomar o limite
. Esse limite é justamente a exponencial
, e obtemos novamente
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula ao nosso caso substituindo os dados:
,
e
. Assim
Calcule o expoente:
portanto
Passo 4
Vamos aproximar numericamente
. Uma maneira prática (sem calculadora científica avançada) é lembrar que
(pode-se obter por séries de Taylor curta ou por multiplicação
; aqui eu uso o valor aproximado conhecido). Então
Interpretação: depois de
anos, com juros compostos continuamente a
ao ano, o investimento cresce de
para aproximadamente
.
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (resumindo o que usar na hora):
- Se o enunciado disser “juros compostos continuamente”, use sempre a fórmula
- Sempre converta a taxa percentual para decimal (
). - Verifique unidade do tempo: se a taxa é anual e o tempo está em anos, está tudo coerente.
Você conseguiu — é só aplicar a fórmula e calcular a exponencial.