Uma pessoa fazer uma aplicação para investir em um novo produto, no início, ele aplica \mathrm{R} \ 50.000,00 em uma conta em favor desse investimento. Admitindo que não haja depósitos adicionais nem retiradas, de quanto ele disporá daqui a 3 anos, considerando que o retorno de investimento é deãóáé5 %$ de juros compostos ao ano continuamente durante o período?

Passo 1

O enunciado pergunta quanto a pessoa terá daqui a 3 anos se aplicar inicialmente \mathrm{R}\$\,50.000{,}00 numa conta que rende 5\% ao ano com juros compostos continuamente, sem depósitos nem retiradas durante o período.
Informações dadas:
  • Capital inicial: P=\mathrm{R}\$\,50.000{,}00.
  • Taxa de juros nominal anual: 5\% (ou, em forma decimal, r=0{,}05 por ano).
  • Tempo de investimento: t=3 anos.
    Pergunta que devemos responder: valor acumulado ao final de 3 anos (quanto ele disporá).

Passo 2

Explicação didática do conceito que usaremos: juros compostos continuamente e a fórmula correspondente.
Quando os juros são compostos continuamente, a ideia é que a cada instante infinitesimal o capital cresce um pouco, e o resultado é que o montante A(t) após tempo t satisfaz a relação (intuitiva)
A(t+\Delta t)\approx A(t)\big(1+r\,\Delta t\big)
para incrementos pequenos \Delta t. Passando ao limite \Delta t\to 0 isso leva à equação diferencial
\frac{dA}{dt}=rA,
que é a equação clássica de crescimento exponencial. Resolver essa equação (uma coisa que a gente faz passo a passo) dá
A(t)=P\,\mathrm{e}^{r t},
onde:
  • P é o capital inicial (o que foi aplicado no começo),
  • r é a taxa de juros na forma decimal por unidade de tempo (aqui por ano),
  • t é o tempo total em anos,
  • \mathrm{e} é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2{,}71828).
Outra forma intuitiva de ver a mesma fórmula é partir da expressão de juros compostos ao final de n composições por ano,
A_n = P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t},
e então tomar o limite n\to\infty. Esse limite é justamente a exponencial \mathrm{e}^{r t}, e obtemos novamente
A(t)=P\,\mathrm{e}^{r t}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao nosso caso substituindo os dados: P=\mathrm{R}\$\,50.000{,}00, r=0{,}05 e t=3. Assim
A(3)=P\,\mathrm{e}^{r t}=\mathrm{R}\$\,50.000{,}00\;\mathrm{e}^{0{,}05\cdot 3}.
Calcule o expoente:
0{,}05\cdot 3 = 0{,}15,
portanto
A(3)=\mathrm{R}\$\,50.000{,}00\;\mathrm{e}^{0{,}15}.

Passo 4

Vamos aproximar numericamente \mathrm{e}^{0{,}15}. Uma maneira prática (sem calculadora científica avançada) é lembrar que \mathrm{e}^{0{,}15}\approx 1{,}161834 (pode-se obter por séries de Taylor curta ou por multiplicação \mathrm{e}^{0{,}1}\cdot\mathrm{e}^{0{,}05}; aqui eu uso o valor aproximado conhecido). Então
A(3)\approx \mathrm{R}\$\,50.000{,}00\times 1{,}161834 \approx \mathrm{R}\$\,58.091{,}71.
Interpretação: depois de 3 anos, com juros compostos continuamente a 5\% ao ano, o investimento cresce de \mathrm{R}\$\,50.000{,}00 para aproximadamente \mathrm{R}\$\,58.091{,}71.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (resumindo o que usar na hora):
  • Se o enunciado disser “juros compostos continuamente”, use sempre a fórmula
A = P\,\mathrm{e}^{r t}.
  • Sempre converta a taxa percentual para decimal ( 5\%\mapsto 0{,}05).
  • Verifique unidade do tempo: se a taxa é anual e o tempo está em anos, está tudo coerente.
    Você conseguiu — é só aplicar a fórmula e calcular a exponencial.

Resposta

\mathrm{R}\$\,58.091{,}71

Exercícios relacionados