Um corpo de 500 N cai de uma altura de 900 m com v_{0}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Supondo a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo e sabendo-se que a velocidade limite é de 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
a) Uma expressão para a velocidade e a posição do corpo no instante t.
b) A posição e a velocidade do corpo após 4s.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados fornecidos:
\text{peso (força) do corpo }=500\\ \mathrm{N},ç
\text{altura inicial }=900\\ \mathrm{m},
v_0=5\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{velocidade inicial, assumimos direção descendente positiva}),çã
\text{resistência do ar proporcional a }v,ê
\text{velocidade limite }v_T=200\\ \mathrm{m/s}.
Perguntas:
a) Obter uma expressão para a velocidade (v(t)) e para a posição (x(t)) do corpo no instante t.
b) Calcular a posição e a velocidade do corpo após 4\\ \mathrm{s}.
Observações iniciais (escolha de sinal e constantes): vou tomar a direção para baixo como positiva, então a força peso aponta para positivo. Também adotarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão). A posição inicial será x(0)=0 medida para baixo a partir do ponto de soltura (logo o chão está em x=900\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Montando a equação de movimento e identificando as constantes.
Forças na direção positiva (para baixo): peso mg e resistência do ar -kv (oposta ao movimento). Pela 2ª lei de Newton:
m\frac{dv}{dt}=mg-kv.
Explicando as variáveis:
m=\text{massa do corpo (kg)},\quad g=\text{aceleração da gravidade }(9,8\\ \mathrm{m/s^2}),çã
k=\text{constante de proporcionalidade do arrasto (kg/s)},\quad v(t)=\text{velocidade no tempo }t.
A velocidade limite v_T (quando dv/dt=0) satisfaz:
0=mg-kv_T \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{mg}{v_T}.
Aqui o enunciado deu mg=500\\ \mathrm{N} (peso) e v_T=200\\ \mathrm{m/s}. Logo
k=\frac{500}{200}=2,5\\ \mathrm{kg/s}.
Se quisermos a massa:
m=\frac{500}{g}=\frac{500}{9,8}\approx 51,02\\ \mathrm{kg}.
É útil definir
\alpha=\frac{k}{m}=\frac{g}{v_T},
pois com k=mg/v_T obtemos \alpha=g/v_T. Numericamente
\alpha=\frac{9,8}{200}=0,049\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial para v(t).
A equação ficou:
\frac{dv}{dt}=g-\alpha v,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Uma forma rápida de ver a solução é reconhecer o equilíbrio v=v_T e notar que a solução tem termo exponencial. Vou mostrar o raciocínio curto e didático:
Escrevendo como
\frac{dv}{dt}+\alpha v=g,
o fator integrante é e^{\alpha t}. Multiplicando por ele e integrando, ou usando o método de separação pela forma dv/(g-\alpha v)=dt, chega-se à solução geral:
v(t)=v_T-\bigl(v_T-v_0\bigr)e^{-\alpha t}.
Aqui v_T é a velocidade de equilíbrio v_T=\dfrac{mg}{k}=200\\ \mathrm{m/s}, v_0 é a velocidade inicial 5\\ \mathrm{m/s} e \alpha=g/v_T. Substituindo \alpha e os valores numéricos:
v(t)=200-\bigl(200-5\bigr)e^{-0,049\,t}=200-195\,e^{-0,049\,t}\quad(\mathrm{m/s}).
Interpretação rápida: no instante t=0 a fórmula dá v(0)=200-195=5\\ \mathrm{m/s} (ok) e quando t\to\infty o termo exponencial some e v\to 200\\ \mathrm{m/s} (velocidade limite).

Passo 4

Obtendo a posição x(t) integrando v(t).
Como escolhemos x(0)=0 (medida para baixo), a posição é
x(t)=\int_0^t v(s)\,ds.
Substituindo a expressão de v(s):
x(t)=\int_0^t\Bigl(v_T-(v_T-v_0)e^{-\alpha s}\Bigr)\,ds = v_T t - (v_T-v_0)\int_0^t e^{-\alpha s}\,ds.
Calculamos a integral exponencial:
\int_0^t e^{-\alpha s}\,ds=\frac{1-e^{-\alpha t}}{\alpha}.
Portanto
x(t)=v_T t - \frac{v_T-v_0}{\alpha}\bigl(1-e^{-\alpha t}\bigr).
Podemos escrever em termos de g e v_T usando \alpha=g/v_T:
\frac{v_T-v_0}{\alpha}=\frac{v_T(v_T-v_0)}{g},
logo uma forma alternativa é
x(t)=v_T t - \frac{v_T(v_T-v_0)}{g}\bigl(1-e^{-\,\frac{g}{v_T}t}\bigr).
Substituindo os valores numéricos ( v_T=200, v_0=5, \alpha=0,049):
x(t)=200\,t- \frac{195}{0,049}\bigl(1-e^{-0,049\,t}\bigr) =200\,t-3979{,}5918367\bigl(1-e^{-0,049\,t}\bigr)\quad(\mathrm{m}).

Passo 5

Cálculo numérico em t=4\\ \mathrm{s}.
Primeiro calculamos e^{-\alpha t}=e^{-0,049\cdot 4}=e^{-0,196}. Uma aproximação numérica é
e^{-0,196}\approx 0,822008.
Velocidade em t=4\\ \mathrm{s}:
v(4)=200-195\,e^{-0,196}\approx 200-195\cdot 0,822008\approx 200-160{,}2935\approx 39{,}7065\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente: v(4)\approx 39{,}71\\ \mathrm{m/s} (para baixo).
Posição em t=4\\ \mathrm{s}:
x(4)=200\cdot 4 - \frac{195}{0,049}\bigl(1-e^{-0,196}\bigr).
Calculando os termos:
200\cdot 4=800,
1-e^{-0,196}\approx 1-0,822008=0,177992,
\frac{195}{0,049}\cdot 0,177992\approx 3979{,}5918367\cdot 0,177992\approx 708{,}3369.
Então
x(4)\approx 800-708{,}3369\approx 91{,}6631\\ \mathrm{m}.
Arredondando: x(4)\approx 91{,}66\\ \mathrm{m}.
Interpretação: após 4\\ \mathrm{s} o corpo já caiu cerca de 91{,}7\\ \mathrm{m}, muito menor que os 900\\ \mathrm{m} da altura inicial, então não chega ao chão nesse tempo.

Resposta

a) \displaystyle v(t)=200-\;195\,e^{-0,049\,t}\quad(\mathrm{m/s}), \quad \displaystyle x(t)=200\,t-\frac{195}{0,049}\bigl(1-e^{-0,049\,t}\bigr)\quad(\mathrm{m})
b) \displaystyle v(4)\approx 39{,}71\\ \mathrm{m/s} \n \displaystyle x(4)\approx 91{,}66\\ \mathrm{m}

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