Um corpo de 500 N cai de uma altura de 900 m com
. Supondo a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo e sabendo-se que a velocidade limite é de
. Determine:
a) Uma expressão para a velocidade e a posição do corpo no instante t.
b) A posição e a velocidade do corpo após 4s.
a) Uma expressão para a velocidade e a posição do corpo no instante t.
b) A posição e a velocidade do corpo após 4s.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados fornecidos:
Perguntas:
a) Obter uma expressão para a velocidade e para a posição
do corpo no instante
.
b) Calcular a posição e a velocidade do corpo após .
a) Obter uma expressão para a velocidade
b) Calcular a posição e a velocidade do corpo após
Observações iniciais (escolha de sinal e constantes): vou tomar a direção para baixo como positiva, então a força peso aponta para positivo. Também adotarei
(valor padrão). A posição inicial será
medida para baixo a partir do ponto de soltura (logo o chão está em
).
Passo 2
Montando a equação de movimento e identificando as constantes.
Forças na direção positiva (para baixo): peso
e resistência do ar
(oposta ao movimento). Pela 2ª lei de Newton:
Explicando as variáveis:
A velocidade limite
(quando
) satisfaz:
Aqui o enunciado deu
(peso) e
. Logo
Se quisermos a massa:
É útil definir
pois com
obtemos
. Numericamente
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial para
.
A equação ficou:
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Uma forma rápida de ver a solução é reconhecer o equilíbrio
e notar que a solução tem termo exponencial. Vou mostrar o raciocínio curto e didático:
Escrevendo como
o fator integrante é
. Multiplicando por ele e integrando, ou usando o método de separação pela forma
, chega-se à solução geral:
Aqui
é a velocidade de equilíbrio
,
é a velocidade inicial
e
. Substituindo
e os valores numéricos:
Interpretação rápida: no instante
a fórmula dá
(ok) e quando
o termo exponencial some e
(velocidade limite).
Passo 4
Obtendo a posição
integrando
.
Como escolhemos
(medida para baixo), a posição é
Substituindo a expressão de
:
Calculamos a integral exponencial:
Portanto
Podemos escrever em termos de
e
usando
:
logo uma forma alternativa é
Substituindo os valores numéricos (
,
,
):
Passo 5
Cálculo numérico em
.
Primeiro calculamos
. Uma aproximação numérica é
Velocidade em
:
Arredondando razoavelmente:
(para baixo).
Posição em
:
Calculando os termos:
Então
Arredondando:
.
Interpretação: após
o corpo já caiu cerca de
, muito menor que os
da altura inicial, então não chega ao chão nesse tempo.
Resposta
a)
, \quad
b)
\n