Aproxime a função f(x)=3 x^{4} no intervalo 1,2 pelo método dos mínimos quadrados por um
polinômio de grau 2 .

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a função f(x)=3x^{4} no intervalo [1,2] por um polinômio de grau 2 pelo método dos mínimos quadrados.
Informações dadas:
\;f(x)=3x^{4}.
Intervalo: [1,2].
Queremos um polinômio de grau 2, isto é, uma função da forma \;p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}, que minimize a integral do quadrado do erro no intervalo [1,2].
O que precisamos encontrar: os coeficientes a_{0},a_{1},a_{2} do polinômio p(x).

Passo 2

O método dos mínimos quadrados (no sentido L^{2} sobre [1,2]) procura minimizar a função erro
E(a_{0},a_{1},a_{2})=\int_{1}^{2}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)^{2}\,dx.
Para minimizar, derivamos E em relação a cada coeficiente e igualamos a zero. Isso dá as equações normais
\frac{\partial E}{\partial a_{k}}=-2\int_{1}^{2}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)\,\phi_{k}(x)\,dx=0,\qquad k=0,1,2,
onde escolhemos as funções base \phi_{0}(x)=1,\;\phi_{1}(x)=x,\;\phi_{2}(x)=x^{2}. Essas condições equivalem a exigir que o resíduo f-p seja ortogonal a cada \phi_{k}. Assim obtemos o sistema linear (equações normais)
\sum_{j=0}^{2}\left(\int_{1}^{2}\phi_{k}(x)\phi_{j}(x)\,dx\right)a_{j}=\int_{1}^{2}f(x)\phi_{k}(x)\,dx,\qquad k=0,1,2.
Vou agora montar esse sistema explicitando as integrais.

Passo 3

Calculemos as integrais gerais necessárias. Para k\ge 0,
\int_{1}^{2}x^{k}\,dx=\left[\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_{1}^{2}=\frac{2^{k+1}-1}{k+1}.
Defino I_{k}=\int_{1}^{2}x^{k}\,dx. Vou calcular I_{0},I_{1},\dots,I_{6} porque aparecem potências até x^{6} (pois f(x)=3x^{4} e multiplica até x^{2}):
I_{0}=\frac{2^{1}-1}{1}=1,
I_{1}=\frac{2^{2}-1}{2}=\frac{3}{2},
I_{2}=\frac{2^{3}-1}{3}=\frac{7}{3},
I_{3}=\frac{2^{4}-1}{4}=\frac{15}{4},
I_{4}=\frac{2^{5}-1}{5}=\frac{31}{5},
I_{5}=\frac{2^{6}-1}{6}=\frac{63}{6}=\frac{21}{2},
I_{6}=\frac{2^{7}-1}{7}=\frac{127}{7}.

Passo 4

Agora montamos a matriz A e o vetor b do sistema A\mathbf{a}=b, com \mathbf{a}=(a_{0},a_{1},a_{2})^{T}, onde
A_{ij}=\int_{1}^{2}x^{i+j}\,dx=I_{i+j},\qquad b_{i}=\int_{1}^{2}3x^{4}x^{i}\,dx=3I_{4+i},
para i,j=0,1,2. Substituindo os I_{k} obtidos:
A=\begin{pmatrix} I_{0} & I_{1} & I_{2}\\[4pt] I_{1} & I_{2} & I_{3}\\[4pt] I_{2} & I_{3} & I_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{3}{2} & \dfrac{7}{3}\\[6pt] \dfrac{3}{2} & \dfrac{7}{3} & \dfrac{15}{4}\\[6pt] \dfrac{7}{3} & \dfrac{15}{4} & \dfrac{31}{5} \end{pmatrix},
b=\begin{pmatrix} 3I_{4}\\[4pt] 3I_{5}\\[4pt] 3I_{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{93}{5}\\[4pt] \dfrac{63}{2}\\[4pt] \dfrac{381}{7} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para resolver o sistema escrevo explicitamente as três equações (em forma fracionária):
\begin{cases} 1\cdot a_{0}+\dfrac{3}{2}a_{1}+\dfrac{7}{3}a_{2}=\dfrac{93}{5},\\[6pt] \dfrac{3}{2}a_{0}+\dfrac{7}{3}a_{1}+\dfrac{15}{4}a_{2}=\dfrac{63}{2},\\[6pt] \dfrac{7}{3}a_{0}+\dfrac{15}{4}a_{1}+\dfrac{31}{5}a_{2}=\dfrac{381}{7}. \end{cases}
Multiplico cada equação por um inteiro para eliminar denominadores e facilitar a eliminação. Multiplicando por 30,12,420 respectivamente (mínimos comuns dos denominadores em cada linha) obtenho o sistema inteiro
\begin{cases} 30a_{0}+45a_{1}+70a_{2}=558,\\[4pt] 18a_{0}+28a_{1}+45a_{2}=378,\\[4pt] 980a_{0}+1575a_{1}+2604a_{2}=22860. \end{cases}]

Passo 6

Eliminação: primeiro elimino a_{0} entre as duas primeiras equações. Faço 30\times(\text{segunda})-18\times(\text{primeira}):
30(18a_{0}+28a_{1}+45a_{2})-18(30a_{0}+45a_{1}+70a_{2})=30\cdot378-18\cdot558.
O termo em a_{0} cancela. Calculando os coeficientes obtemos:
30a_{1}+90a_{2}=1296.
Dividindo por 30:
a_{1}+3a_{2}=\frac{1296}{30}=\frac{216}{5}.
Essa é a equação (A): a_{1}+3a_{2}=\dfrac{216}{5}.

Passo 7

Agora elimino a_{0} entre a primeira e a terceira equações. Faço 980\times(\text{primeira})-30\times(\text{terceira}):
980(30a_{0}+45a_{1}+70a_{2})-30(980a_{0}+1575a_{1}+2604a_{2})=980\cdot558-30\cdot22860.
O termo em a_{0} cancela. Simplificando os coeficientes e o lado direito obtemos:
-3150a_{1}-9520a_{2}=-138960.
Multiplico por -1 e divido por 10 para simplificar:
315a_{1}+952a_{2}=13896.
Essa é a equação (B): 315a_{1}+952a_{2}=13896.

Passo 8

Usando a equação (A) multiplicada por 315 (para eliminar a_{1} com (B)):
315(a_{1}+3a_{2})=315\cdot\frac{216}{5}\quad\Longrightarrow\quad 315a_{1}+945a_{2}=13608.
Agora subtraio essa equação de (B):
(315a_{1}+952a_{2})-(315a_{1}+945a_{2})=13896-13608.
Isso dá
7a_{2}=288 \quad\Longrightarrow\quad a_{2}=\frac{288}{7}.

Passo 9

Com a_{2}=\dfrac{288}{7} volto à equação (A) para achar a_{1}:
a_{1}= \frac{216}{5}-3a_{2}=\frac{216}{5}-3\cdot\frac{288}{7}.
Faço o cálculo em frações (denominador comum 35):
a_{1}=\frac{1512}{35}-\frac{4320}{35}=-\frac{2808}{35}.

Passo 10

Finalmente calculo a_{0} usando a primeira equação multiplicada (aquela com inteiros):
30a_{0}+45a_{1}+70a_{2}=558.
Substituo a_{1}=-\dfrac{2808}{35} e a_{2}=\dfrac{288}{7}. Ao fazer as contas (colocando tudo sobre o mesmo denominador) obtenho
a_{0}=-\frac{201}{35}.

Passo 11

Reescrevo os coeficientes de forma consistente (todos com denominador 35 se desejar):
a_{0}=-\frac{201}{35},\qquad a_{1}=-\frac{2808}{35},\qquad a_{2}=\frac{1440}{35}.
Portanto o polinômio aproximante é
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}=\frac{1}{35}\bigl(-201-2808x+1440x^{2}\bigr).

Resposta

p(x)= -\frac{201}{35}-\frac{2808}{35}\,x+\frac{1440}{35}\,x^{2}

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