Aproxime a função f(x)=3 x^{4} no intervalo 1,2 pelo método dos mínimos quadrados por um
polinômio de grau 2 .
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a função f(x)=3x^{4} no intervalo [1,2] por um polinômio de grau 2 pelo método dos mínimos quadrados.
Informações dadas: \;f(x)=3x^{4}.
Intervalo: [1,2].
Queremos um polinômio de grau 2, isto é, uma função da forma \;p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}, que minimize a integral do quadrado do erro no intervalo [1,2].
O que precisamos encontrar: os coeficientes a_{0},a_{1},a_{2} do polinômio p(x).
Passo 2
O método dos mínimos quadrados (no sentido L^{2} sobre [1,2]) procura minimizar a função erro
onde escolhemos as funções base \phi_{0}(x)=1,\;\phi_{1}(x)=x,\;\phi_{2}(x)=x^{2}. Essas condições equivalem a exigir que o resíduo f-p seja ortogonal a cada \phi_{k}. Assim obtemos o sistema linear (equações normais)
Defino I_{k}=\int_{1}^{2}x^{k}\,dx. Vou calcular I_{0},I_{1},\dots,I_{6} porque aparecem potências até x^{6} (pois f(x)=3x^{4} e multiplica até x^{2}):
Multiplico cada equação por um inteiro para eliminar denominadores e facilitar a eliminação. Multiplicando por 30,12,420 respectivamente (mínimos comuns dos denominadores em cada linha) obtenho o sistema inteiro