Uma pessoa deseja atravessar um rio utilizando uma jangada de madeira feita de toras cilíndricas. Cada tora tem 2 metros de comprimento e 0,30 metros de diâmetro. A densidade de madeira utilizada é 600 kg / m^3, e a densidade da água do rio é 1.000 kg / m^3. A pessoa tem massa de 75 kg, e a jangada é composta por 5 toras idênticas amarradas lado a lado.
Determine se a jangada consegue sustentar a pessoa sem que toda a madeira fique submersa. Se sim, qual fração da tora ficará dentro da água?
Apresente a solução na folha resposta

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando. Temos uma jangada feita de 5 toras cilíndricas de madeira. Cada tora tem
  • comprimento
  • diâmetro , logo raio
Densidades:
  • madeira:
  • água:
Pessoa com massa .
Conteúdo que vamos usar:
  • cálculo de volume de cilindro
  • densidade e massa ( )
  • Princípio de Arquimedes (empuxo = peso do fluido deslocado)
O que precisamos achar:
  1. Se a jangada flutua sem submergir totalmente.
  2. Qual fração do volume de cada tora fica submersa.

Passo 2

Calcular o volume de uma tora (cilindro):
Vrm tora ;=;pi,r^2,h ;=;pi,(0,15)^2,(2,0) ;=;pitimes0,0225times2 ;=;0,045pi m^3 ;approx;0,1414 m^3

Passo 3

Volume total das 5 toras:
Vrm total ;=;5times Vrm tora ;approx;5times0,1414 ;=;0,707 m^3

Passo 4

Massa total da madeira:
mrm m ;=;rhorm m,Vrm total ;=;600times0,707 ;approx;424,2 kg
Peso total que o empuxo precisa sustentar:
mrm total ;=;mrm m+mp ;=;424,2 + 75 ;=;499,2 kg

Passo 5

O empuxo máximo (se as toras ficassem totalmente submersas) equivale ao peso da água deslocada por Emax = rhorm a,Vrm total,g Longrightarrow massa eq de água = rhorm a,Vrm total = 1000times0,707 = 707 kg :
á
Como , a jangada flutua sem afundar totalmente.

Passo 6

Para achar a fração submersa rhorm a,Vrm sub,g ;=;(mrm m+mp),g Longrightarrow Vrm sub = mrm totalrhorm a , igualamos o peso total ao empuxo de uma parte Vrm sub = 499,21000 = 0,4992 m^3 Longrightarrow f = Vrm subVrm total = 0,49920,707 approx0,706 :
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Resposta

Sim, a jangada sustenta a pessoa sem ficar totalmente submersa. A fração da tora que fica dentro da água é cerca de 0,706 (ou 70,6%).

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