Uma pessoa deseja chegar a um ponto que está a 3,40 \mathrm{~m} de sua localização atual, em uma direção 35,0^{\circ} ao norte do leste. As ruas por onde pode passar são todas na direção nortesul ou direção leste-oeste. Qual é a menor distância que a pessoa precisa percorrer para chegar ao destino?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a menor distância que a pessoa precisa percorrer pelas ruas (que só são na direção norte–sul ou leste–oeste) para chegar a um ponto que está a \,3,40\\ \mathrm{m}\, de sua posição atual, na direção \,35,0^\circ\, ao norte do leste.
Dados fornecidos e relevantes:
  • distância direta até o destino: \,r=3,40\\ \mathrm{m}\,;
  • direção do destino: \,\theta=35,0^\circ\, (norte do leste);
  • ruas só permitem movimentos puramente leste–oeste e norte–sul (isto é, só podemos andar ao longo dos eixos horizontais e verticais).

Passo 2

Vamos representar o deslocamento direto como um vetor de magnitude \,r\, fazendo um ângulo \,\theta\, com o eixo leste (horizontal). Se desenharmos a projeção desse vetor nos eixos leste (x) e norte (y), formamos um triângulo retângulo onde:
  • a componente ao leste (horizontal) é a projeção do vetor sobre o eixo leste–oeste;
  • a componente ao norte (vertical) é a projeção sobre o eixo norte–sul.
    Como as ruas só permitem andar nessas direções, a pessoa terá de andar uma distância igual à componente leste mais a componente norte (ou na ordem que preferir: primeiro leste depois norte, ou vice-versa). Esse total é a menor distância possível seguindo ruas alinhadas aos eixos (qualquer desvio adicional só aumentaria a distância).

Passo 3

Agora uma pequena aula rápida sobre seno e cosseno (bem prática): em um triângulo retângulo com hipotenusa \,r\, e ângulo \,\theta\, medido a partir do eixo horizontal, definimos:
\cos\theta = \frac{\text{componente horizontal (adjacente)}}{r}
\sin\theta = \frac{\text{componente vertical (oposta)}}{r}
Isolando as componentes, obtemos as fórmulas que usaremos:
x = r\cos\theta \quad\text{(deslocamento para leste)}
y = r\sin\theta \quad\text{(deslocamento para norte)}
Onde x e y são as distâncias que precisamos andar nas ruas leste–oeste e norte–sul, respectivamente. A menor distância total percorrida ao seguir as ruas é então
D = x + y = r(\cos\theta + \sin\theta).

Passo 4

Substituímos os valores numéricos dados: \,r=3,40\\ \mathrm{m}\, e \,\theta=35,0^\circ. Primeiro calculamos os valores de seno e cosseno (valores aproximados):
\cos 35,0^\circ \approx 0,8191520443
\sin 35,0^\circ \approx 0,5735764364
Agora as componentes:
x = 3,40\cdot 0,8191520443 \approx 2,7851169506\\ \mathrm{m}
y = 3,40\cdot 0,5735764364 \approx 1,9501598836\\ \mathrm{m}
Somando para obter a distância total mínima:
D = x+y \approx 2,7851169506 + 1,9501598836 \approx 4,7352768342\\ \mathrm{m}

Passo 5

Arredondamos de acordo com os algarismos significativos dos dados (os dados têm três algarismos significativos), então apresentamos a resposta com três algarismos significativos:
D \approx 4,74\\ \mathrm{m}.
Pequena observação final: esse caminho (andar x para leste e y para norte) é de fato a menor rota possível ao se restringir aos eixos, porque qualquer outro trajeto que ainda termine no mesmo ponto e que não seja apenas a soma dessas duas componentes exigirá deslocamentos extras.

Resposta

4,74\\ \mathrm{m}

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