Uma pessoa deseja chegar a um ponto que está a
de sua localização atual, em uma direção
ao norte do leste. As ruas por onde pode passar são todas na direção nortesul ou direção leste-oeste. Qual é a menor distância que a pessoa precisa percorrer para chegar ao destino?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a menor distância que a pessoa precisa percorrer pelas ruas (que só são na direção norte–sul ou leste–oeste) para chegar a um ponto que está a
de sua posição atual, na direção
ao norte do leste.
Dados fornecidos e relevantes:
Dados fornecidos e relevantes:
- distância direta até o destino:
; - direção do destino:
(norte do leste); - ruas só permitem movimentos puramente leste–oeste e norte–sul (isto é, só podemos andar ao longo dos eixos horizontais e verticais).
Passo 2
Vamos representar o deslocamento direto como um vetor de magnitude
fazendo um ângulo
com o eixo leste (horizontal). Se desenharmos a projeção desse vetor nos eixos leste (x) e norte (y), formamos um triângulo retângulo onde:
- a componente ao leste (horizontal) é a projeção do vetor sobre o eixo leste–oeste;
- a componente ao norte (vertical) é a projeção sobre o eixo norte–sul.
Como as ruas só permitem andar nessas direções, a pessoa terá de andar uma distância igual à componente leste mais a componente norte (ou na ordem que preferir: primeiro leste depois norte, ou vice-versa). Esse total é a menor distância possível seguindo ruas alinhadas aos eixos (qualquer desvio adicional só aumentaria a distância).
Passo 3
Agora uma pequena aula rápida sobre seno e cosseno (bem prática): em um triângulo retângulo com hipotenusa
e ângulo
medido a partir do eixo horizontal, definimos:
Isolando as componentes, obtemos as fórmulas que usaremos:
Onde
e
são as distâncias que precisamos andar nas ruas leste–oeste e norte–sul, respectivamente. A menor distância total percorrida ao seguir as ruas é então
Passo 4
Substituímos os valores numéricos dados:
e
. Primeiro calculamos os valores de seno e cosseno (valores aproximados):
Agora as componentes:
Somando para obter a distância total mínima:
Passo 5
Arredondamos de acordo com os algarismos significativos dos dados (os dados têm três algarismos significativos), então apresentamos a resposta com três algarismos significativos:
Pequena observação final: esse caminho (andar
para leste e
para norte) é de fato a menor rota possível ao se restringir aos eixos, porque qualquer outro trajeto que ainda termine no mesmo ponto e que não seja apenas a soma dessas duas componentes exigirá deslocamentos extras.