Sobre um bloco atuam as forças \vec{F}_{1}=\vec{i}+2 \vec{j}, \vec{F}_{2}=-2 \vec{i}-3 \vec{j} e \vec{F}_{3}=3 \vec{i}-4 \vec{j}, todas em newton. Calcule o vetor resultante da soma destas forças em notação cartesiana e encontre seu módulo, direção e sentido.

Passo 1

O enunciado dá três forças em notação vetorial cartesiana (todas em newton):
\vec{F}_{1}=\vec{i}+2\vec{j}, \vec{F}_{2}=-2\vec{i}-3\vec{j} e \vec{F}_{3}=3\vec{i}-4\vec{j}.
Pede-se:
  • o vetor resultante da soma dessas forças em notação cartesiana;
  • o módulo (norma) desse vetor resultante;
  • a direção (ângulo) do vetor em relação ao eixo x;
  • o sentido (para que lado/quadrante o vetor aponta).

Passo 2

Soma componente a componente: somamos as componentes na direção \vec{i} (eixo x) e na direção \vec{j} (eixo y) separadamente. Isto é, se escrevemos
\vec{F}_k = F_{k,x}\,\vec{i} + F_{k,y}\,\vec{j},
então a resultante tem componentes
R_x = \sum_k F_{k,x},\qquad R_y = \sum_k F_{k,y}.
Aqui, explicitamente:
F_{1,x}=1,\; F_{1,y}=2;\quad F_{2,x}=-2,\; F_{2,y}=-3;\quad F_{3,x}=3,\; F_{3,y}=-4.

Passo 3

Calculemos R_x e R_y somando os valores acima:
R_x = 1 + (-2) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2,
R_y = 2 + (-3) + (-4) = 2 - 3 - 4 = -5.
Portanto o vetor resultante em componentes é \vec{R}=2\vec{i}-5\vec{j}.

Passo 4

Agora o módulo (norma) de um vetor \vec{R}=R_x\vec{i}+R_y\vec{j} é dado pela fórmula do comprimento no plano:
\|\vec{R}\|=\sqrt{R_x^2+R_y^2}.
Substituindo nossas componentes:
\|\vec{R}\|=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
Uma aproximação decimal: 5^2=25 e 6^2=36, logo \sqrt{29} está entre 5 e 6. Uma aproximação numérica é \sqrt{29}\approx 5,385.

Passo 5

Direção: o ângulo \theta que o vetor forma com o eixo x (medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo) pode ser obtido por
\theta=\operatorname{atan}\!\left(\frac{R_y}{R_x}\right).
Aqui \frac{R_y}{R_x}=\frac{-5}{2}=-2{,}5. Como R_x>0 e R_y<0, o vetor está no quarto quadrante, então o ângulo dado pela função arco-tangente é negativo (abaixo do eixo x). Calculando:
\theta=\arctan\!\left(-2{,}5\right)\approx -68{,}20^\circ.
Isso significa que o vetor forma um ângulo de aproximadamente 68{,}20^\circ abaixo do eixo x positivo.

Passo 6

Sentido: com base nas componentes R_x=2>0 e R_y=-5<0, concluímos que o vetor aponta para a direita (sentido positivo de x) e para baixo (sentido negativo de y). Em termos de quadrante, aponta para o quarto quadrante.

Resposta

\vec{R}=2\vec{i}-5\vec{j}
\|\vec{R}\|=\sqrt{29}\approx 5,385\\ \text{N}
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{-5}{2}\right)\approx -68{,}20^\circ (ou 68{,}20^\circ abaixo do eixo x)
Aponta para a direita e para baixo (quarto quadrante)

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