8- Um empréstimo contratado à taxa efetiva de
a.m. foi liquidado em 12 prestações mensais postecipadas de
500$ cada. Quanto totalizaram os juros pagos no período?
Passo 1
O enunciado dá um empréstimo com taxa efetiva mensal de
e informa que ele foi liquidado em
prestações mensais postecipadas de
cada. A pergunta é: quanto totalizaram os juros pagos no período?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
ao mês,
meses,
(prestação mensal).
O que se pede: o total pago em juros ao final do período.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede: o total pago em juros ao final do período.
Passo 2
Estratégia de resolução (explicada de forma simples): quando um empréstimo é pago por prestações iguais mensais postecipadas (ou seja, ao final de cada mês), o valor emprestado originalmente (o principal) é igual ao valor presente das
prestações. Então: primeiro calculamos o valor presente
da anuidade de
por
meses à taxa
; depois calculamos o total pago (
) e subtraímos o principal
. O resultado dessa subtração é o total de juros pagos. Esse é o método mais direto.
Passo 3
Fórmula do valor presente de uma anuidade postecipada (explicando de onde vem): se recebemos (ou pagamos) uma série de
pagamentos iguais
ao final de cada período com taxa por período
, o valor presente é a soma de uma progressão geométrica descontada:
Essa soma é uma soma geométrica. Fazendo a manipulação padrão (multiplicar a soma por
e subtrair), obtemos a forma fechada conhecida:
Aqui:
é o valor emprestado (principal),
é a prestação,
é a taxa por período e
é o número de períodos. Essa fórmula é fundamental para problemas de empréstimos com prestações fixas.
Passo 4
Aplicando a fórmula aos números do enunciado:
,
,
. Portanto
Para calcular isso precisamos de
. Vamos calcular
passo a passo (multiplicando por
a cada vez) para evitar pular etapas:
Passo 5
Agora calculamos o inverso
. Usando a divisão (ou observando que
), obtemos
Para ver que esse valor faz sentido: multiplicando
por
obtemos aproximadamente
, conforme esperado.
Passo 6
Voltando à fórmula do
:
Calculando o quociente:
Então
Arredondando para centavos, o valor emprestado (principal) foi aproximadamente
.
Passo 7
Total efetivamente pago ao final dos
meses:
Total de juros pagos = total pago − principal:
Arredondando para centavos, os juros totais pagos no período foram aproximadamente
. Força aí — é comum nos empréstimos a maior parte dos juros concentrar-se nos primeiros pagamentos; a conta acima mostra claramente como separar o principal dos juros.