8- Um empréstimo contratado à taxa efetiva de 4 \% a.m. foi liquidado em 12 prestações mensais postecipadas de \ 500$ cada. Quanto totalizaram os juros pagos no período?

Passo 1

O enunciado dá um empréstimo com taxa efetiva mensal de 4\% e informa que ele foi liquidado em 12 prestações mensais postecipadas de \$500 cada. A pergunta é: quanto totalizaram os juros pagos no período?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;i = 4\% ao mês, \;n = 12 meses, \;R = \$500 (prestação mensal).
O que se pede: o total pago em juros ao final do período.

Passo 2

Estratégia de resolução (explicada de forma simples): quando um empréstimo é pago por prestações iguais mensais postecipadas (ou seja, ao final de cada mês), o valor emprestado originalmente (o principal) é igual ao valor presente das n prestações. Então: primeiro calculamos o valor presente PV da anuidade de \$500 por 12 meses à taxa i; depois calculamos o total pago ( 12\cdot500) e subtraímos o principal PV. O resultado dessa subtração é o total de juros pagos. Esse é o método mais direto.

Passo 3

Fórmula do valor presente de uma anuidade postecipada (explicando de onde vem): se recebemos (ou pagamos) uma série de n pagamentos iguais R ao final de cada período com taxa por período i, o valor presente é a soma de uma progressão geométrica descontada:
PV = R\left(\frac{1}{1+i} + \frac{1}{(1+i)^2} + \cdots + \frac{1}{(1+i)^n}\right).
Essa soma é uma soma geométrica. Fazendo a manipulação padrão (multiplicar a soma por 1+i e subtrair), obtemos a forma fechada conhecida:
PV = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui: PV é o valor emprestado (principal), R é a prestação, i é a taxa por período e n é o número de períodos. Essa fórmula é fundamental para problemas de empréstimos com prestações fixas.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos números do enunciado: \;R=\$500, \;i=4\%=0{,}04, \;n=12. Portanto
PV = 500\cdot\frac{1-(1{+}0{,}04)^{-12}}{0{,}04}.
Para calcular isso precisamos de (1{+}0{,}04)^{12} = 1{,}04^{12}. Vamos calcular 1{,}04^k passo a passo (multiplicando por 1{,}04 a cada vez) para evitar pular etapas:
\begin{aligned} 1{,}04^1 &= 1{,}04,\\\\ 1{,}04^2 &= 1{,}0816,\\\\ 1{,}04^3 &= 1{,}124864,\\\\ 1{,}04^4 &= 1{,}16985856,\\\\ 1{,}04^5 &= 1{,}2166529024,\\\\ 1{,}04^6 &= 1{,}265319018496,\\\\ 1{,}04^7 &= 1{,}31593177923584,\\\\ 1{,}04^8 &= 1{,}3685690504052736,\\\\ 1{,}04^9 &= 1{,}4233128124214845,\\\\ 1{,}04^{10} &= 1{,}4802453259183238,\\\\ 1{,}04^{11} &= 1{,}5394551389550567,\\\\ 1{,}04^{12} &= 1{,}6010333445132589. \end{aligned}

Passo 5

Agora calculamos o inverso (1{+}0{,}04)^{-12} = 1{,}04^{-12} = \dfrac{1}{1{,}04^{12}}. Usando a divisão (ou observando que 1{,}04^{12}\approx 1{,}6010333445), obtemos
1{,}04^{-12} \approx 0{,}6245967.
Para ver que esse valor faz sentido: multiplicando 1{,}6010333445 por 0{,}6245967 obtemos aproximadamente 1, conforme esperado.

Passo 6

Voltando à fórmula do PV:
PV = 500\cdot\frac{1-0{,}6245967}{0{,}04} = 500\cdot\frac{0{,}3754033}{0{,}04}.
Calculando o quociente:
\frac{0{,}3754033}{0{,}04} \approx 9{,}3850825.
Então
PV \approx 500\times 9{,}3850825 = 4\,692{,}54125.
Arredondando para centavos, o valor emprestado (principal) foi aproximadamente \$4\,692{,}54.

Passo 7

Total efetivamente pago ao final dos 12 meses:
\text{Total pago} = 12\cdot 500 = \$6\,000.
Total de juros pagos = total pago − principal:
\text{Juros} = 6\,000 - 4\,692{,}54125 \approx 1\,307{,}45875.
Arredondando para centavos, os juros totais pagos no período foram aproximadamente \$1\,307{,}46. Força aí — é comum nos empréstimos a maior parte dos juros concentrar-se nos primeiros pagamentos; a conta acima mostra claramente como separar o principal dos juros.

Resposta

\$1\,307{,}46

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