6- Um equipamento que custa
15.000
$2.000
$ 800
$3.000
$ 5.000$. Determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento.
Passo 1
O enunciado diz que um equipamento custa
e será pago em oito prestações mensais com os valores e ordenamento abaixo:
O que o enunciado pede: determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento (taxa mensal efetiva
que faz o valor presente das prestações igualar o preço
).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e úteis):
- Para juros compostos, o valor presente (PV) de um pagamento de valor
que ocorre no mês é , onde é a taxa efetiva por período (aqui mês). - O fator de desconto mensal é
; então o desconto até o mês é . - A condição de equilíbrio do financiamento é que o somatório dos valores presentes das prestações seja igual ao preço:
Cada
é o pagamento do mês
. Esta equação determina
, mas é uma equação não-linear (polinomial em
), por isso resolvemos numericamente.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a equação com os pagamentos dados:
Chamamos a função
Procuramos
tal que
. Observação importante:
é estritamente decrescente em
(se
aumenta, cada termo
diminui), então existe uma única solução positiva plausível.
Passo 4
Bracketing (achar um intervalo inicial onde a raiz esteja) — calculamos
em dois pontos para ter certeza do sinal:
-
Primeiro, em
(1% ao mês). Calculamos os fatores de desconto e somamos.
Cálculos (aproximados, mostrados passo a passo):Soma dos presentes:Logo. -
Agora em
(2% ao mês). Calculamos : Soma dos presentes:Logo.
Como
e
, por continuidade existe uma única raiz
no intervalo
.
Passo 5
Método numérico e iterações — usamos interpolação (secante/linear entre os pontos) e refinamos:
-
Estimativa inicial por interpolação linear entre
com e com .
A redução de PV por 0{,}01 de taxa foi.
Precisamos reduziraté : queda necessária .
Fração do intervalo. Então -
Avaliamos PV em
. Calculamos e potências: Soma dos presentes:Aquificou um pouco acima de (diferença ), então a taxa real é um pouco maior que . -
Fazemos nova interpolação entre
(PV ) e (PV ). A queda no PV entre esses pontos é . Precisamos reduzir em . Fração . O incremento em é (em termos absolutos = pontos). Portanto: -
Uma última verificação (opcional): avaliar PV em
daria PV extremamente próximo de (diferença de alguns centavos ou poucos reais), o que é suficiente para a precisão prática de uma prova/exercício.
Passo 6
Interpretação e conclusão pedagógica: a taxa efetiva mensal que zera a equação de valor presente é aproximadamente
. Em palavras amigáveis: cada mês a dívida efetivamente “custa” cerca de
sobre o saldo para que o conjunto das prestações descontadas valha
. Se você precisar transformar essa taxa em taxa efetiva anual, seria
, mas o enunciado pedia a taxa efetiva do financiamento (normalmente mensal quando prestações são mensais), então entregamos a taxa mensal encontrada.