6- Um equipamento que custa \ 15.000 será pago em oito prestações mensais: as três primeiras deáçõê$2.000 , as três seguintes deê$ 800 , a sétima deé$3.000 e a oitava de$ 5.000$. Determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento.

Passo 1

O enunciado diz que um equipamento custa \$15.000 e será pago em oito prestações mensais com os valores e ordenamento abaixo:
\begin{array}{ll} \text{Mês 1:} & \$2.000\\\ \text{Mês 2:} & \$2.000\\\ \text{Mês 3:} & \$2.000\\\ \text{Mês 4:} & \$800\\\ \text{Mês 5:} & \$800\\\ \text{Mês 6:} & \$800\\\ \text{Mês 7:} & \$3.000\\\ \text{Mês 8:} & \$5.000 \end{array}êêêêêêêê
O que o enunciado pede: determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento (taxa mensal efetiva i que faz o valor presente das prestações igualar o preço \$15.000).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e úteis):
  • Para juros compostos, o valor presente (PV) de um pagamento de valor P que ocorre no mês k é \dfrac{P}{(1+i)^k}, onde i é a taxa efetiva por período (aqui mês).
  • O fator de desconto mensal é v=(1+i)^{-1}; então o desconto até o mês k é v^k=(1+i)^{-k}.
  • A condição de equilíbrio do financiamento é que o somatório dos valores presentes das prestações seja igual ao preço:
15000=\sum_{k=1}^{8}\frac{P_k}{(1+i)^k}.
Cada P_k é o pagamento do mês k. Esta equação determina i, mas é uma equação não-linear (polinomial em (1+i)^{-1}), por isso resolvemos numericamente.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a equação com os pagamentos dados:
15000=\frac{2000}{(1+i)^1}+\frac{2000}{(1+i)^2}+\frac{2000}{(1+i)^3}+\frac{800}{(1+i)^4}+\frac{800}{(1+i)^5}+\frac{800}{(1+i)^6}+\frac{3000}{(1+i)^7}+\frac{5000}{(1+i)^8}.
Chamamos a função
f(i)=\sum_{k=1}^{8}\frac{P_k}{(1+i)^k}-15000.
Procuramos i tal que f(i)=0. Observação importante: f(i) é estritamente decrescente em i (se i aumenta, cada termo \frac{P_k}{(1+i)^k} diminui), então existe uma única solução positiva plausível.

Passo 4

Bracketing (achar um intervalo inicial onde a raiz esteja) — calculamos f(i) em dois pontos para ter certeza do sinal:
  • Primeiro, em i=0{,}01 (1% ao mês). Calculamos os fatores de desconto v^k=(1{,}01)^{-k} e somamos.
    Cálculos (aproximados, mostrados passo a passo):
    \begin{aligned} v&=(1{,}01)^{-1}=0{,}990099,\\\ v^2&=0{,}980296,\\\ v^3&=0{,}970590,\\\ v^4&=0{,}960986,\\\ v^5&=0{,}951476,\\\ v^6&=0{,}942059,\\\ v^7&=0{,}932720,\\\ v^8&=0{,}923472. \end{aligned}
    Soma dos presentes:
    \begin{aligned} \text{PV}_{1\%}&=2000(v+v^2+v^3)+800(v^4+v^5+v^6)+3000v^7+5000v^8\\\ &\approx2000(2{,}940985)+800(2{,}854521)+3000(0{,}932720)+5000(0{,}923472)\\\ &\approx5881{,}97+2283{,}62+2798{,}16+4617{,}36\\\ &\approx15580{,}11. \end{aligned}
    Logo f(0{,}01)=\text{PV}_{1\%}-15000\approx+580{,}11>0.
  • Agora em i=0{,}02 (2% ao mês). Calculamos v^k=(1{,}02)^{-k}:
    \begin{aligned} v&=(1{,}02)^{-1}=0{,}980392,\\\ v^2&=0{,}961169,\\\ v^3&=0{,}942322,\\\ v^4&=0{,}923845,\\\ v^5&=0{,}905730,\\\ v^6&=0{,}887969,\\\ v^7&=0{,}870558,\\\ v^8&=0{,}853481. \end{aligned}
    Soma dos presentes:
    \begin{aligned} \text{PV}_{2\%}&=2000(v+v^2+v^3)+800(v^4+v^5+v^6)+3000v^7+5000v^8\\\ &\approx2000(2{,}883883)+800(2{,}717544)+3000(0{,}870558)+5000(0{,}853481)\\\ &\approx5767{,}77+2174{,}03+2611{,}67+4267{,}40\\\ &\approx14820{,}87. \end{aligned}
    Logo f(0{,}02)=\text{PV}_{2\%}-15000\approx-179{,}13<0.
Como f(0{,}01)>0 e f(0{,}02)<0, por continuidade existe uma única raiz i no intervalo [0{,}01,0{,}02].

Passo 5

Método numérico e iterações — usamos interpolação (secante/linear entre os pontos) e refinamos:
  1. Estimativa inicial por interpolação linear entre i_1=0{,}01 com \text{PV}\approx15580{,}11 e i_2=0{,}02 com \text{PV}\approx14820{,}87.
    A redução de PV por 0{,}01 de taxa foi \Delta \text{PV}\approx15580{,}11-14820{,}87=759{,}24.
    Precisamos reduzir 15580{,}11 até 15000: queda necessária 580{,}11.
    Fração do intervalo \approx 580{,}11/759{,}24\approx0{,}764. Então
    i^{(0)}\approx0{,}01+0{,}764(0{,}02-0{,}01)=0{,}01764\quad(\text{ou }1{,}764\%).
  2. Avaliamos PV em i=0{,}01764. Calculamos v=(1{,}01764)^{-1}\approx0{,}982663 e potências:
    \begin{aligned} v^1&\approx0{,}982663, & v^2&\approx0{,}965627, & v^3&\approx0{,}948945,\\\ v^4&\approx0{,}932611, & v^5&\approx0{,}916620, & v^6&\approx0{,}900968,\\\ v^7&\approx0{,}885650, & v^8&\approx0{,}870663. \end{aligned}
    Soma dos presentes:
    \begin{aligned} \text{PV}_{0{,}01764}&=2000(v+v^2+v^3)+800(v^4+v^5+v^6)+3000v^7+5000v^8\\\ &\approx2000(2{,}897235)+800(2{,}750199)+3000(0{,}885650)+5000(0{,}870663)\\\ &\approx5794{,}47+2200{,}16+2656{,}95+4353{,}31\\\ &\approx15004{,}89. \end{aligned}
    Aqui \text{PV} ficou um pouco acima de 15000 (diferença \approx +4{,}89), então a taxa real é um pouco maior que 1{,}764\%.
  3. Fazemos nova interpolação entre i_a=0{,}01764 (PV 15004{,}89) e i_b=0{,}02 (PV 14820{,}87). A queda no PV entre esses pontos é 15004{,}89-14820{,}87=184{,}02. Precisamos reduzir 15004{,}89 em 4{,}89. Fração 4{,}89/184{,}02\approx0{,}0266. O incremento em i é 0{,}0266\times(0{,}02-0{,}01764)=0{,}000063 (em termos absolutos \approx0{,}000063 = 0{,}0063\% pontos). Portanto:
    i\approx0{,}01764+0{,}000063\approx0{,}017703\quad(\text{ou }1{,}7703\%).
  4. Uma última verificação (opcional): avaliar PV em i\approx0{,}01770 daria PV extremamente próximo de \$15.000 (diferença de alguns centavos ou poucos reais), o que é suficiente para a precisão prática de uma prova/exercício.

Passo 6

Interpretação e conclusão pedagógica: a taxa efetiva mensal que zera a equação de valor presente é aproximadamente i\approx0{,}01770. Em palavras amigáveis: cada mês a dívida efetivamente “custa” cerca de 1{,}77\% sobre o saldo para que o conjunto das prestações descontadas valha \$15.000. Se você precisar transformar essa taxa em taxa efetiva anual, seria (1+i)^{12}-1, mas o enunciado pedia a taxa efetiva do financiamento (normalmente mensal quando prestações são mensais), então entregamos a taxa mensal encontrada.

Resposta

\;i\approx1{,}77\%\\ \text{ao mês}ê

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