Uma pessoa deseja fazer uma poupança para futuramente complementar sua aposentadoria. Para tanto, pretende fazer depósitos mensais de 1.789,40 UM durante cinco anos. O poupador gostaria de fazer saques mensais de 500,00 UM, para reforçar seu orçamento no período de aposentadoria. Se o fundo de aplicação remunera a uma taxa de juros de 0,40% ao mês, qual deve ser o intervalo de tempo entre último depósito e o primeiro saque? (Considere que a pessoa é avessa a riscos).
() 07 meses () 08 meses () 9 meses ()NAA

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: uma pessoa vai depositar R$ 1 789,40 todo mês durante cinco anos (ou seja, 60 depósitos) num fundo que rende 0,40 % ao mês. Depois disso ela quer começar a sacar R$ 500,00 por mês pra completar a aposentadoria. A pergunta é: depois de fazer o último depósito, quantos meses ela precisa esperar (sem entrar nem sair dinheiro) até fazer o primeiro saque?
Conteúdo: Matemática Financeira básica – valor futuro de uma série de depósitos e valor presente (ou perpetuidade). Vamos usar:
  1. Fórmula do valor acumulado (montante) de uma série de depósitos mensais.
  2. Fórmula do valor presente de uma perpetuidade (saques mensais indefinidos).

Passo 2

Primeiro, calculamos quanto teremos logo após o 60º depósito (no final do mês 60). A fórmula do montante de uma série de pagamentos iguais Sn ;=; a ;(1 + i)^n - 1i por S60 = 1,789,40 ;(1,004)^60 - 10,004 períodos, com taxa , é:
Aqui:
Então

Passo 3

Agora, para conseguir saques mensais de R$ 500,00 indefinidamente (uma perpetuidade), o valor que precisamos ter disponível no momento do início dos saques é
PV = Ri = 5000,004 = 125,000
Esse é o montante que deve existir exatamente na data do primeiro saque.

Passo 4

Entre o 60º depósito e o 1º saque, deixamos o dinheiro “descansar” por S60,(1+i)^x meses, rendendo 0,40 % ao mês. Então o montante S60,(1,004)^x = 125,000 ;;Longrightarrow;; (1,004)^x = 125,000S60 ;;Longrightarrow;; x = lnl(125,000/S60r)ln(1,004) cresce para
x approx ln(125,000/121,000)ln(1,004) approx ln(1,03306)0,003992 approx 7,95 meses
e isso tem que ser igual a . Logo, resolvemos
Substituindo (valor aproximado do passo 2), dá

Resposta

Ela deve esperar cerca de 8 meses entre o último depósito e o primeiro saque.

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