Uma pessoa faz chá gelado misturando 400 g de chá quente (que se comporta como água pura) com a mesma massa de gelo no ponto de fusão. Suponha que a troca de energia entre a mistura e o ambiente é desprezível. Se a temperatura inicial do chá é T_{i}=200^{\circ} \mathrm{F}, qual é
a temperatura da mistura T_{f}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar direitinho para não nos perder):
  • Massa do chá (água quente): m_{\text{cha}}=400\,\mathrm{g}.
  • Massa do gelo (no ponto de fusão): m_{\text{gelo}}=400\,\mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do chá: T_i=200^\circ\mathrm{F}.
  • O gelo está no ponto de fusão, ou seja, à temperatura \,0^\circ\mathrm{C}.
  • Não há troca significativa de energia com o ambiente (sistema isolado).
  • O chá se comporta como água pura (usar as propriedades térmicas da água).
O que o problema pede:
  • Determinar a temperatura final de equilíbrio T_f da mistura.
Dados físicos que vamos usar (valores típicos e convenientes para fazer contas sem complicar):
  • Calor específico da água: c=1{,}00\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}. Aqui c significa a energia (em calorias) necessária para aumentar 1\\ \mathrm{g} de água em 1^\circ\mathrm{C}.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f=80\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}. Aqui L_f é a energia necessária para fundir 1\\ \mathrm{g} de gelo à 0^\circ\mathrm{C} sem mudar a temperatura.
  • Fórmula de conversão de temperatura entre Fahrenheit e Celsius que vamos usar:
T(^{\circ}\mathrm{C})=\frac{5}{9}\bigl(T(^{\circ}\mathrm{F})-32\bigr).

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a temperatura inicial do chá de Fahrenheit para Celsius para trabalhar com c e L_f nas unidades que escolhemos.
Usando a fórmula de conversão:
T_i(^{\circ}\mathrm{C})=\frac{5}{9}\bigl(200-32\bigr)=\frac{5}{9}\cdot168=\frac{840}{9}=\frac{280}{3}\\ ^\circ\mathrm{C}\approx93,33^\circ\mathrm{C}.
Então \,T_i=\dfrac{280}{3}\,^\circ\mathrm{C}\approx93,33^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Agora vamos à conservação de energia térmica: o calor perdido pelo chá quente ao esfriar de T_i para T_f é igual ao calor absorvido pelo gelo para derreter e em seguida aquecer a água resultante até T_f.
Explicando as fórmulas que usaremos:
  • Calor trocado ao variar a temperatura de uma massa m de substância: Q=m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa, c o calor específico e \Delta T a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}). Esse Q é positivo quando a substância recebe calor.
  • Calor necessário para fundir uma massa m de gelo à 0^\circ\mathrm{C}: Q_{\text{fusão}}=m\,L_f,ã
onde L_f é o calor latente de fusão (energia por grama).
Escrevendo a equação de balanço (calor perdido pelo chá = calor ganho pelo gelo):
m_{\text{cha}}\,c\,(T_i-T_f)=m_{\text{gelo}}\,L_f + m_{\text{gelo}}\,c\,(T_f-0).
Aqui o primeiro termo à esquerda é o calor perdido pelo chá ao esfriar; à direita, o primeiro termo é energia para derreter o gelo e o segundo é energia para aquecer a água proveniente do gelo até T_f.
Como m_{\text{cha}}=m_{\text{gelo}}=m, podemos dividir ambos os lados por m e obter:
c\,(T_i-T_f)=L_f + c\,T_f.

Passo 4

Agora resolvemos a equação para T_f. Desenvolvendo:
c\,T_i - c\,T_f = L_f + c\,T_f
c\,T_i - L_f = c\,T_f + c\,T_f = 2c\,T_f
T_f = \frac{c\,T_i - L_f}{2c} = \frac{T_i}{2} - \frac{L_f}{2c}.
Substituindo os valores numéricos (usando c=1\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}, L_f=80\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1} e T_i=\dfrac{280}{3}\\ ^\circ\mathrm{C}):
T_f=\frac{1\cdot\frac{280}{3}-80}{2\cdot1}=\frac{\frac{280}{3}-80}{2}=\frac{\frac{280-240}{3}}{2}=\frac{\frac{40}{3}}{2}=\frac{40}{6}=\frac{20}{3}\\ ^\circ\mathrm{C}.
Em forma decimal isso é \dfrac{20}{3}\\ ^\circ\mathrm{C}\approx6,67^\circ\mathrm{C}.
Verificação rápida da consistência: T_f>0^\circ\mathrm{C}, portanto a suposição de que todo o gelo derreteu e a mistura chegou a uma temperatura positiva está coerente.
Se quiser a resposta em Fahrenheit, convertemos:
T_f(^{\circ}\mathrm{F})=\frac{9}{5}T_f(^{\circ}\mathrm{C})+32=\frac{9}{5}\cdot\frac{20}{3}+32=\frac{180}{15}+32=12+32=44^\circ\mathrm{F}.

Passo 5

Resumo do raciocínio em palavras (rápida e motivadora): o chá cede calor; esse calor serve primeiro para fundir o gelo (gasta bastante energia por grama, L_f) e o restante aquece a água resultante até o equilíbrio. Como as massas são iguais, a expressão tomou uma forma simples e deu um resultado baixo, frio — perfeito para um chá gelado. Vai dar para tomar sem sentir dor de garganta! Força aí que você já entendeu a técnica: converter temperaturas, escrever balanço de energia, aplicar Q=mc\Delta T e Q=mL.

Resposta

T_f=\dfrac{20}{3}\\ ^\circ\mathrm{C}\approx6,67^\circ\mathrm{C}
T_f=44^\circ\mathrm{F}

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