Num referencial S, observam-se dois eventos simultâneos em pontos separados pela distância de 2 metros. Num referencial S^{\prime}, que se move em relação a S, na direção da reta que liga os dois pontos, os dois eventos aparecem separados pela distância de 1 m . Qual o intervalo de tempo entre os dois eventos, medido em S^{\prime} ? R: (a) 5,77 \times 10^{-9} \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (sem nada suposto):
  • Em S: dois eventos são simultâneos, ou seja \Delta t=0.
  • Em S: os dois pontos onde ocorrem os eventos estão separados por \Delta x=2\\ \text{m}.
  • Em S' (que se move ao longo da reta que liga os pontos): a separação (medida no referencial S') entre esses dois pontos é 1\\ \text{m}.
    O que se pede:
  • Calcular o intervalo de tempo entre os dois eventos medido em S', isto é \Delta t' (módulo do intervalo de tempo entre os flashes, na unidade de segundos).

Passo 2

Vamos primeiro entender a relação entre as distâncias medidas nos dois referenciais (contração de comprimentos). A fórmula da contração de comprimento é:
L' = L\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}},
onde:
  • L é o comprimento medido no repouso do corpo (aqui: a separação entre os pontos no referencial S, que vale L=\Delta x=2\\ \text{m});
  • L' é o comprimento medido num referencial que se move com velocidade v relativa a S (aqui é dado L'=1\\ \text{m});
  • v é a velocidade relativa entre S e S';
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s}).
    Essa é uma fórmula bem conhecida: um comprimento próprio L medido por um observador que vê o objeto em repouso diminui para L' visto por quem vê o objeto em movimento.

Passo 3

Usando L=2\\ \text{m} e L'=1\\ \text{m} na fórmula da contração, isolamos v:
1 = 2\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}=\dfrac{1}{2}.
Elevando ao quadrado:
1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\dfrac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.
Portanto
v = c\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,c\approx 0{,}8660254\,c.

Passo 4

Agora precisamos do intervalo de tempo entre os dois eventos medido em S'. A relatividade da simultaneidade nos diz que eventos simultâneos em S não são simultâneos em S'; a diferença de tempo típica que aparece pode ser relacionada à velocidade relativa e à separação dos pontos. Uma forma direta de obter o intervalo (módulo) é usar a relação
\Delta t'=\dfrac{v\,\Delta x}{c^{2}},
onde \Delta x é a separação entre os pontos medida no referencial em que os eventos são simultâneos (aqui \Delta x=2\\ \text{m}) e v é a velocidade relativa já encontrada. (Essa expressão dá o valor absoluto do descompasso temporal entre os eventos em S' decorrente da simultaneidade relativa — aqui está sendo usada a separação no referencial onde os eventos são simultâneos.)

Passo 5

Aplicando números: primeiro calculemos v/c e depois \Delta t'.
\dfrac{v}{c}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254.
Assim
\Delta t'=\dfrac{v\,\Delta x}{c^{2}}=\dfrac{v}{c}\cdot\dfrac{\Delta x}{c} =0{,}8660254\cdot\dfrac{2\\ \text{m}}{3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s}}.
Calcule:
\dfrac{2}{3{,}00\times10^{8}}=6{,}666\ldots\times10^{-9}\\ \text{s},
então
\Delta t'\approx 0{,}8660254\times 6{,}666\ldots\times10^{-9}\\ \text{s} \approx 5{,}77\times10^{-9}\\ \text{s}.

Resposta

5,77\times10^{-9}\\ \text{s}

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