Uma pessoa faz chá gelado misturando 400 g de chá quente (que se comporta como água pura) com a mesma massa de gelo no ponto de fusão. Suponha que a troca de energia entre a mistura e o ambiente é desprezível. Se a temperatura inicial do chá é T_{i}=180^{\circ} \mathrm{F}, qual é
de m_{f} quando o equilíbrio térmico é atingido?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Massa do chá (comportando-se como água pura): m_{\text{chá}}=400\\ \text{g}á.
  • Massa do gelo: m_{\text{gelo}}=400\\ \text{g} (no ponto de fusão).
  • Temperatura inicial do chá: T_i=180^\circ\mathrm{F}.
  • Troca de energia com o ambiente desprezível (sistema isolado).
    A pergunta é encontrar m_f, que aqui interpretamos como a massa de gelo que derrete quando o equilíbrio térmico é atingido (ou, equivalentemente, dizer se todo o gelo derrete e qual é a massa final de líquido).

Passo 2

Converter a temperatura inicial do chá de Fahrenheit para Celsius. A fórmula de conversão é
T(^{\circ}\mathrm{C})=\bigl(T(^{\circ}\mathrm{F})-32\bigr)\times\frac{5}{9}.
Aplicando ao caso:
T_i=\bigl(180-32\bigr)\times\frac{5}{9}=\frac{740}{9}\\ ^\circ\mathrm{C}\approx82,22^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Explicar os conceitos e constantes que vamos usar:
  • Calor específico da água: c=1\\ \text{cal}\,/\,( \text{g}\cdot{}^\circ\mathrm{C}). Significa que para aquecer 1\\ \text{g} de água em 1^\circ\mathrm{C} são necessárias 1\\ \text{cal}.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f=80\\ \text{cal}/\text{g}. Significa que para fundir 1\\ \text{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} (sem mudar a temperatura) são necessárias 80\\ \text{cal}.
  • Princípio de conservação de energia (para mistura isolada): o calor perdido pelo corpo quente = calor ganho pelos corpos frios (fusão do gelo + aquecimento da água resultante, se houver).
    Vamos trabalhar em unidades de calorias para facilitar as contas sem usar calculadora científica.

Passo 4

Calcular o calor que o chá pode ceder ao esfriar de T_i até 0^\circ\mathrm{C} (valor útil para fazer derreter gelo). Esse calor é
Q_{\text{disponível}}=m_{\text{chá}}\,c\,(T_i-0).íá
Substituindo:
Q_{\text{disponível}}=400\times1\times\frac{740}{9}=\frac{296000}{9}\\ \text{cal}\approx32\,888{,}9\\ \text{cal}.í

Passo 5

Calcular o calor necessário para fundir todo o gelo ( 400\\ \text{g}):
Q_{\text{necessário}}=m_{\text{gelo}}\,L_f=400\times80=32\,000\\ \text{cal}.á
Comparando os valores:
Q_{\text{disponível}}\approx32\,888{,}9\\ \text{cal}>Q_{\text{necessário}}=32\,000\\ \text{cal}.íá
Portanto há calor suficiente para fundir todo o gelo. Conclusão parcial: todo o gelo ( 400\\ \text{g}) vai derreter.

Passo 6

Como todo o gelo derrete, sobra uma quantidade de calor que aquece a mistura (agora toda líquida). Calcular o calor sobrante:
Q_{\text{sobra}}=Q_{\text{disponível}}-Q_{\text{necessário}}\approx32\,888{,}9-32\,000=888{,}9\\ \text{cal}.íá
Massa total de água após a fusão: m_{\text{total}}=400+400=800\\ \text{g}.
A elevação de temperatura resultante da energia sobrante é
\Delta T=\frac{Q_{\text{sobra}}}{m_{\text{total}}\,c}=\frac{888{,}9}{800\times1}\\ ^\circ\mathrm{C}\approx1{,}11^\circ\mathrm{C}.
Assim a temperatura de equilíbrio será aproximadamente
T_f=0^\circ\mathrm{C}+\Delta T\approx1{,}11^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação final do que foi pedido:
  • A massa de gelo que derrete ( m_f) é toda a massa de gelo disponível, isto é 400\\ \text{g}.
  • (Observação adicional útil) A massa final de líquido é 800\\ \text{g} e a temperatura de equilíbrio é aproximadamente 1{,}11^\circ\mathrm{C}.

Resposta

m_f=400\\ \text{g}

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