(30% da nota) Para qual temperatura o valor em graus Fahrenheit (
{ }^{\circ} \mathrm{F}
) é igual
a metade do valor em graus Celsius (
{ }^{\circ} \mathrm{C}
)?

Passo 1

O enunciado pergunta: para qual temperatura o valor em graus Fahrenheit é igual à metade do valor em graus Celsius?
Informações relevantes que vamos usar (definições de variáveis e a relação entre as escalas):
  • Seja C a temperatura medida em graus Celsius, isto é, C representa um valor em {}^\circ\mathrm{C}.
  • Seja F a temperatura medida em graus Fahrenheit, isto é, F representa um valor em {}^\circ\mathrm{F}.
  • A condição pedida é F=\dfrac{1}{2}C.
  • A relação linear entre as escalas Celsius e Fahrenheit (fórmula de conversão) é
F=\frac{9}{5}C+32,
onde C e F têm os significados definidos acima.

Passo 2

Vou transformar a condição do enunciado em uma equação usando a fórmula de conversão. Substituindo F por \dfrac{1}{2}C na fórmula F=\dfrac{9}{5}C+32, obtemos a equação:
\frac{1}{2}C=\frac{9}{5}C+32.
Aqui cada termo significa:
  • \dfrac{1}{2}C é metade da temperatura em graus Celsius;
  • \dfrac{9}{5}C é a parte da fórmula que converte Celsius para Fahrenheit sem o deslocamento de 32;
  • 32 é o deslocamento entre as escalas (ponto de congelamento da água).

Passo 3

Agora vamos resolver a equação passo a passo para encontrar C. Primeiro isolo os termos com C num lado:
\frac{1}{2}C-\frac{9}{5}C=32.
Explico como subtraí: passei \dfrac{9}{5}C para o lado esquerdo com sinal negativo, e o 32 ficou do lado direito.

Passo 4

Vamos calcular a diferença de frações no lado esquerdo. Para somar/subtrair frações, uso o mesmo denominador comum. Os denominadores são 2 e 5; o denominador comum é 10. Escrevo cada fração com denominador 10:
\frac{1}{2}C=\frac{5}{10}C,\qquad \frac{9}{5}C=\frac{18}{10}C.
Portanto
\frac{1}{2}C-\frac{9}{5}C=\left(\frac{5}{10}-\frac{18}{10}\right)C=\left(-\frac{13}{10}\right)C.
A equação fica então
-\frac{13}{10}C=32.

Passo 5

Isolo C dividindo ambos os lados por -\dfrac{13}{10}. Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso:
C = 32 \cdot \left(-\frac{10}{13}\right) = -\frac{320}{13}.
Portanto a temperatura em graus Celsius que satisfaz a condição é C=-\dfrac{320}{13}\,{}^\circ\mathrm{C}. Em forma decimal aproximada:
C \approx -24,615\ldots\,{}^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Agora calculo a temperatura correspondente em Fahrenheit usando F=\dfrac{1}{2}C (a própria condição do enunciado):
F=\frac{1}{2}\,C=\frac{1}{2}\left(-\frac{320}{13}\right)=-\frac{160}{13}.
Em forma decimal aproximada:
F\approx -12,308\ldots\,{}^\circ\mathrm{F}.

Passo 7

Verificação rápida (para ter certeza): uso a fórmula F=\dfrac{9}{5}C+32 com C=-\dfrac{320}{13}:
\frac{9}{5}\left(-\frac{320}{13}\right)+32 = -\frac{2880}{65}+\frac{2080}{65}=-\frac{800}{65}=-\frac{160}{13},
que é exatamente o valor que encontramos para F. Logo está consistente.

Resposta

C=-\dfrac{320}{13}\\ ^\circ\mathrm{C}\approx -24,615^\circ\mathrm{C}
F=-\dfrac{160}{13}\\ ^\circ\mathrm{F}\approx -12,308^\circ\mathrm{F}

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