Prove que \vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})=(\vec{A} \cdot \vec{C}) \vec{B}-(\vec{A} \cdot \vec{B}) \vec{C}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede para provar a identidade vetorial
\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}.
  • Informações dadas (implícitas): \vec{A},\vec{B},\vec{C} são vetores em \mathbb{R}^3.
  • Objetivo: mostrar que os dois vetores (o lado esquerdo e o lado direito) são iguais componente a componente.

Passo 2

Vamos trabalhar componente a componente. Para isso, introduzo notação por índices (índices variando em 1,2,3) e a regra de soma de Einstein (quando um índice aparece repetido, somamos sobre ele). Definições que vou usar:
  • O produto vetorial em componentes é
(\vec{X}\times\vec{Y})_i=\epsilon_{ijk} X_j Y_k,
onde \epsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (expandirei o que é na próxima etapa).
  • O produto escalar em componentes é
\vec{X}\cdot\vec{Y}=X_i Y_i.

Passo 3

Definições e propriedades necessárias (mini-aula):
  • O símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk} é definido por
    • \epsilon_{ijk}=+1 se (i,j,k) é uma permutação par de (1,2,3),
    • \epsilon_{ijk}=-1 se (i,j,k) é uma permutação ímpar de (1,2,3),
    • \epsilon_{ijk}=0 se dois índices são iguais.
      Ele é totalmente antissimétrico nas permutações dos índices.
  • O delta de Kronecker \delta_{ij} vale 1 se i=j e 0 se i\neq j. Serve para “identificar” índices: \delta_{ij}X_j=X_i.
  • Identidade fundamental que usaremos (contracção de dois símbolos de Levi-Civita):
\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
Explicação curta de porquê: a quantidade do lado esquerdo é um tensor que é anti-simétrico em i\leftrightarrow j e em l\leftrightarrow m e só pode ser combinação linear dos produtos \delta_{il}\delta_{jm} e \delta_{im}\delta_{jl}; verificando alguns componentes não nulos chega-se exatamente à diferença indicada acima. Essa é uma identidade padrão usada em álgebra vetorial.

Passo 4

Começo a calcular a componente i do lado esquerdo \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}). Usando a definição do produto vetorial:
\bigl(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\bigr)_i=\epsilon_{ijk}A_j(\vec{B}\times\vec{C})_k.

Passo 5

Substituo (\vec{B}\times\vec{C})_k pela sua expressão em componentes:
(\vec{B}\times\vec{C})_k=\epsilon_{klm}B_l C_m.
Logo
\bigl(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\bigr)_i=\epsilon_{ijk}A_j \epsilon_{klm}B_l C_m.

Passo 6

Agora uso a identidade de contração \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}. Substituindo:
\bigl(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\bigr)_i=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_j B_l C_m.

Passo 7

Aplico as propriedades do delta para simplificar termo a termo.
  • No primeiro termo \delta_{il}\delta_{jm}A_j B_l C_m:
    \delta_{jm}A_j C_m = A_j C_j=\vec{A}\cdot\vec{C} e \delta_{il}B_l=B_i. Portanto o primeiro termo vira (\vec{A}\cdot\vec{C})B_i.
  • No segundo termo \delta_{im}\delta_{jl}A_j B_l C_m:
    \delta_{jl}A_j B_l = A_j B_j=\vec{A}\cdot\vec{B} e \delta_{im}C_m=C_i. Portanto o segundo termo vira (\vec{A}\cdot\vec{B})C_i.
Assim obtemos
\bigl(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\bigr)_i=(\vec{A}\cdot\vec{C})B_i-(\vec{A}\cdot\vec{B})C_i.

Passo 8

Interpretando o resultado componente a componente, a igualdade vetorial é
\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}.
Isso é exatamente a identidade que queríamos provar (conhecida como identidade BAC−CAB).

Passo 9

Para ficar mais concreto: um rápido cheque com vetores canônicos. Tome \vec{A}=(1,0,0), \vec{B}=(0,1,0), \vec{C}=(0,0,1). O lado esquerdo dá
\vec{B}\times\vec{C}=(1,0,0)=\vec{A}, \qquad \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{A}\times\vec{A}=\vec{0}.
O lado direito dá
(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}=0\cdot\vec{B}-0\cdot\vec{C}=\vec{0}.
Concorda. Pequenas checagens assim ajudam a ganhar confiança na identidade.

Resposta

\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}

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