Prove que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede para provar a identidade vetorial
- Informações dadas (implícitas):
são vetores em . - Objetivo: mostrar que os dois vetores (o lado esquerdo e o lado direito) são iguais componente a componente.
Passo 2
Vamos trabalhar componente a componente. Para isso, introduzo notação por índices (índices variando em
) e a regra de soma de Einstein (quando um índice aparece repetido, somamos sobre ele). Definições que vou usar:
- O produto vetorial em componentes é
onde
é o símbolo de Levi-Civita (expandirei o que é na próxima etapa).
- O produto escalar em componentes é
Passo 3
Definições e propriedades necessárias (mini-aula):
- O símbolo de Levi-Civita
é definido por -
se é uma permutação par de , -
se é uma permutação ímpar de , -
se dois índices são iguais.
Ele é totalmente antissimétrico nas permutações dos índices.
-
- O delta de Kronecker
vale se e se . Serve para “identificar” índices: . - Identidade fundamental que usaremos (contracção de dois símbolos de Levi-Civita):
Explicação curta de porquê: a quantidade do lado esquerdo é um tensor que é anti-simétrico em
e em
e só pode ser combinação linear dos produtos
e
; verificando alguns componentes não nulos chega-se exatamente à diferença indicada acima. Essa é uma identidade padrão usada em álgebra vetorial.
Passo 4
Começo a calcular a componente
do lado esquerdo
. Usando a definição do produto vetorial:
Passo 5
Substituo
pela sua expressão em componentes:
Logo
Passo 6
Agora uso a identidade de contração
. Substituindo:
Passo 7
Aplico as propriedades do delta para simplificar termo a termo.
- No primeiro termo
:
e . Portanto o primeiro termo vira . - No segundo termo
:
e . Portanto o segundo termo vira .
Assim obtemos
Passo 8
Interpretando o resultado componente a componente, a igualdade vetorial é
Isso é exatamente a identidade que queríamos provar (conhecida como identidade BAC−CAB).
Passo 9
Para ficar mais concreto: um rápido cheque com vetores canônicos. Tome
,
,
. O lado esquerdo dá
O lado direito dá
Concorda. Pequenas checagens assim ajudam a ganhar confiança na identidade.