Um circuito RC possui força eletromotriz de 100 volts, uma resistência de 10 Ohms, uma capacitância de 0,04 Farad e inicialmente uma carga de 10 coulombs no capacitor. Determine a expressão da carga no capacitor no instante t e a corrente no circuito no instante t .

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com uma fonte, um resistor e um capacitor e pede duas coisas: a carga do capacitor no instante t e a corrente no circuito no instante t. Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Tensão da fonte: \,E=100 volts.
  • Resistência: \,R=10 ohms.
  • Capacitância: \,C=0,04 farad.
  • Carga inicial no capacitor no instante t=0: \,Q(0)=10 coulombs.
Observação importante que vou usar: a tensão no capacitor é \,v_C=\dfrac{Q}{C}. Quando escrever as equações vou tomar Q(t) como a carga no capacitor e i(t) como a corrente positiva no circuito no sentido que aumenta Q (ou seja, i=\dfrac{dQ}{dt}).

Passo 2

Montando a equação do circuito (Lei de Kirchhoff das tensões). Em um laço série com fonte, resistor e capacitor vale:
E - v_R - v_C = 0.
Aqui v_R=R\,i (lei de Ohm) e v_C=\dfrac{Q}{C}. Substituindo e lembrando que i=\dfrac{dQ}{dt} obtemos a equação diferencial que governa Q(t):
E - R\frac{dQ}{dt} - \frac{Q}{C}=0.
Reorganizando:
R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = E.
Vou explicar cada termo: \,R\frac{dQ}{dt} é a queda de tensão no resistor; \,\dfrac{Q}{C} é a tensão no capacitor; e E é a fonte constante. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para Q(t).

Passo 3

Colocando a equação no formato padrão e identificando constantes úteis. Dividindo por R:
\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{RC}\,Q = \frac{E}{R}.
Definimos a constante de tempo do circuito RC:
\tau = RC.
Ela tem unidade de tempo e determina a velocidade de variação. No nosso caso:
\tau = R C = 10 \cdot 0,04 = 0,4\\ \text{segundos}.

Passo 4

Solução geral da equação linear (método da solução homogênea + particular). A equação é do tipo
\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{\tau}\,Q = \frac{E}{R}.
  • Solução homogênea (resolvendo a equação sem o termo constante): \dfrac{dQ_h}{dt} + \dfrac{1}{\tau}Q_h =0. Isso dá
Q_h(t) = A e^{-t/\tau},
onde A é constante a ser determinada pela condição inicial.
  • Solução particular: buscamos uma solução constante Q_p (porque o lado direito é constante). Substituindo Q_p constante:
\frac{1}{\tau}Q_p = \frac{E}{R} \quad\Rightarrow\quad Q_p = \tau\frac{E}{R}.
Mas \tau = RC, então
Q_p = RC\frac{E}{R} = C E.
Isso faz sentido físico: no regime estacionário o capacitor atinge carga \,Q=C\,E (tensão do capacitor igual à tensão da fonte).

Passo 5

Combinação da solução geral e aplicação da condição inicial. A solução geral é
Q(t) = Q_p + Q_h(t) = C E + A e^{-t/\tau}.
Usamos Q(0)=10 para achar A:
Q(0)= C E + A = 10 \quad\Rightarrow\quad A = 10 - C E.
Calculando C E:
C E = 0,04 \cdot 100 = 4\\ \text{coulombs}.
Logo
A = 10 - 4 = 6.
Portanto a expressão para a carga é
Q(t) = 4 + 6 e^{-t/0,4}.
Se preferir, como 1/0,4 = 2,5, também podemos escrever
Q(t) = 4 + 6 e^{-2{,}5\,t}.

Passo 6

Cálculo da corrente i(t). Lembre que i(t)=\dfrac{dQ}{dt}. Derivando a expressão encontrada:
i(t) = \frac{d}{dt}\big(4 + 6 e^{-t/0,4}\big) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{0,4}\right) e^{-t/0,4}.
Calculando o coeficiente:
-\frac{6}{0,4} = -15.
Portanto
i(t) = -15\, e^{-t/0,4}\\ \text{amperes},
ou equivalentemente
i(t) = -15\, e^{-2{,}5\,t}\\ \text{A}.
Interpretação física rápida: o sinal negativo indica que a corrente tem direção que diminui a carga do capacitor (isto ocorre porque a carga inicial 10 C é maior que a carga de equilíbrio 4 C — o capacitor inicialmente está “mais carregado” que a fonte, então ele se descarrega até o valor 4 C).

Resposta

Q(t)=4+6e^{-t/0,4}
i(t)=-15e^{-t/0,4}

Exercícios relacionados