Um circuito RC possui força eletromotriz de 100 volts, uma resistência de 10 Ohms, uma capacitância de 0,04 Farad e inicialmente uma carga de 10 coulombs no capacitor. Determine a expressão da carga no capacitor no instante t e a corrente no circuito no instante t .
Passo 1
O enunciado dá um circuito série com uma fonte, um resistor e um capacitor e pede duas coisas: a carga do capacitor no instante
e a corrente no circuito no instante
. Informações fornecidas pelo enunciado:
- Tensão da fonte:
volts. - Resistência:
ohms. - Capacitância:
farad. - Carga inicial no capacitor no instante
: coulombs.
Observação importante que vou usar: a tensão no capacitor é
. Quando escrever as equações vou tomar
como a carga no capacitor e
como a corrente positiva no circuito no sentido que aumenta
(ou seja,
).
Passo 2
Montando a equação do circuito (Lei de Kirchhoff das tensões). Em um laço série com fonte, resistor e capacitor vale:
Aqui
(lei de Ohm) e
. Substituindo e lembrando que
obtemos a equação diferencial que governa
:
Reorganizando:
Vou explicar cada termo:
é a queda de tensão no resistor;
é a tensão no capacitor; e
é a fonte constante. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 3
Colocando a equação no formato padrão e identificando constantes úteis. Dividindo por
:
Definimos a constante de tempo do circuito RC:
Ela tem unidade de tempo e determina a velocidade de variação. No nosso caso:
Passo 4
Solução geral da equação linear (método da solução homogênea + particular). A equação é do tipo
- Solução homogênea (resolvendo a equação sem o termo constante):
. Isso dá
onde
é constante a ser determinada pela condição inicial.
- Solução particular: buscamos uma solução constante
(porque o lado direito é constante). Substituindo constante:
Mas
, então
Isso faz sentido físico: no regime estacionário o capacitor atinge carga
(tensão do capacitor igual à tensão da fonte).
Passo 5
Combinação da solução geral e aplicação da condição inicial. A solução geral é
Usamos
para achar
:
Calculando
:
Logo
Portanto a expressão para a carga é
Se preferir, como
, também podemos escrever
Passo 6
Cálculo da corrente
. Lembre que
. Derivando a expressão encontrada:
Calculando o coeficiente:
Portanto
ou equivalentemente
Interpretação física rápida: o sinal negativo indica que a corrente tem direção que diminui a carga do capacitor (isto ocorre porque a carga inicial
C é maior que a carga de equilíbrio
C — o capacitor inicialmente está “mais carregado” que a fonte, então ele se descarrega até o valor
C).