Uma pessoa de massa 68 kg salta de uma altura de 0,6 \mathrm{~m}. Em um primeiro momento ela amortece a queda de maneira a demorar 0,85 \mathrm{~s} desde o instante em que toca o solo até a parada total. Posteriormente repete o salto, porém demorando 0,54 \mathrm{~s} até a parada total. Considerando a aceleração gravitacional como tendo módulo 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine:
a) A velocidade com que a pessoa atinge o solo.
b) O momento linear ao atingir o solo.
c) O impulso aplicado sobre a pessoa pelo seu peso.
d) O impulso aplicado sobre a pessoa, pelo solo, até a parada total da pessoa.
e) Quais as forças médias exercidas pelo solo sobre a pessoa para cada uma das situações.
f) Represente em um esquema gráfico ilustrativo as duas situações, representando a força e o empuxo que o solo aplica sobre a pessoa, para cada uma das duas situações.

Passo 1

O enunciado descreve uma pessoa de massa m=68\\ \mathrm{kg} que salta de uma altura h=0,6\\ \mathrm{m} e amortece a queda em dois cenários, demorando \Delta t_1=0,85\\ \mathrm{s} no primeiro e \Delta t_2=0,54\\ \mathrm{s} no segundo. Vamos adotar o sentido vertical para baixo como positivo e usar:
– Conservação de energia para obter a velocidade de impacto.
– Teorema do impulso para relacionar forças, tempos e variação de quantidade de movimento.

Passo 2

Para achar a velocidade ao atingir o solo, usamos conservação de energia desde a altura h até o solo (energia potencial vira cinética):
\frac12\,m\,v^2 = m\,g\,h
v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 0,6} = \sqrt{11,76} \approx 3,43\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

O momento linear ao atingir o solo é
\vec p = m\,\vec v,
então, em módulo,
p = m\,v = 68 \cdot 3,43 \approx 233,2\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
no sentido para baixo.

Passo 4

O peso da pessoa é \vec P = m\,\vec g, constante durante a desaceleração. O impulso da gravidade em cada cenário é
\vec I_P = \vec P\,\Delta t = m\,g\,\Delta t.
Para \Delta t_1=0,85\\ \mathrm s:
I_{P1} = 68 \cdot 9,8 \cdot 0,85 \approx 566,4\\ \mathrm{N\!\cdots} \quad(\text{para baixo}).
Para \Delta t_2=0,54\\ \mathrm s:
I_{P2} = 68 \cdot 9,8 \cdot 0,54 \approx 359,9\\ \mathrm{N\!\cdots} \quad(\text{para baixo}).

Passo 5

O impulso total que causa a parada é \Delta\vec p = \vec p_f - \vec p_i = -\,233{,}2\\ \mathrm{kg\!\cdotm/s}. Como
\Delta\vec p = \vec I_P + \vec I_N
onde \vec I_N é o impulso do solo, temos
I_N = \Delta p - I_P.
Para o primeiro caso:
I_{N1} = -233,2 - 566,4 = -799,6\\ \mathrm{N\!\cdots} \quad(\text{para cima}).
Para o segundo:
I_{N2} = -233,2 - 359,9 = -593,1\\ \mathrm{N\!\cdots} \quad(\text{para cima}).

Passo 6

A força média do solo em cada caso é
\bar F = \frac{I_N}{\Delta t}.
Para \Delta t_1=0,85\\ \mathrm s:
\bar F_1 = \frac{-799,6}{0,85} \approx -941,9\\ \mathrm{N} \quad(\text{negativo indica para cima}),
isto é 942\\ \mathrm{N} para cima.
Para \Delta t_2=0,54\\ \mathrm s:
\bar F_2 = \frac{-593,1}{0,54} \approx -1\,098,3\\ \mathrm{N}
isto é 1\,098\\ \mathrm{N} para cima.

Passo 7

Em cada situação o diagrama de corpo-livre da pessoa tem duas forças verticais:
– o peso \vec{P} = 666,4\\ \mathrm{N} para baixo;
– a força normal (ou “empuxo do solo”) \vec{N} para cima, com magnitude média 942\\ \mathrm{N} no primeiro caso e 1\,098\\ \mathrm{N} no segundo.
Esquematicamente:
Caso 1:
\u00021942\\ \mathrm{N}
\bullet (pessoa)
\u00021666,4\\ \mathrm{N}
Caso 2:
\u000211\,098\\ \mathrm{N}
\bullet (pessoa)
\u00021666,4\\ \mathrm{N}

Resposta

a) v = 3,43\\ \mathrm{m/s}.
b) p = 233,2\\ \mathrm{kg\cdot m/s} para baixo.
c) I_{P1} = 566,4\\ \mathrm{N\!\cdots} e I_{P2} = 359,9\\ \mathrm{N\!\cdots} (para baixo).
d) I_{N1} = -799,6\\ \mathrm{N\!\cdots} e I_{N2} = -593,1\\ \mathrm{N\!\cdots} (para cima).
e) \bar F_1 = 942\\ \mathrm{N} para cima; \bar F_2 = 1\,098\\ \mathrm{N} para cima.
f) Diagramas de corpo-livre mostrados acima, com \vec P para baixo e \vec N para cima em cada situação.

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