Um sistema de gotejamento possibilita que gotas de um certo líquido com densidade 1,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \mathrm{e} volume de 0,1 \mathrm{ml} caiam sobre uma placa, a partir de uma altura de 20 cm . O sistema foi dimensionado para liberar 20 gotas por minuto. Considerando que a placa permanece fixa enquanto as gotas a atingem, determine:
\left(g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)
a) A massa de cada gota.
b) A velocidade de cada gota ao atingir a placa.
c) O módulo do momento linear de cada gota ao atingir a placa.
d) A quantidade de gotas que atingem a placa em 2 min .
e) O impulso aplicado sobre a placa, pelas gotas, em 2 min .
f) Se cada gota demora 0,2 \mathrm{~s} até a parada total, na placa, qual o módulo da força média transmitida para a placa ao fim de 2 min .

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de gotejamento com gotas de densidade \rho=1,2\;\mathrm{g/cm^3} e volume V=0,1\;\mathrm{mL} lançadas de uma altura h=20\;\mathrm{cm} (fica 0,2\;\mathrm{m}), caindo livremente sob g=9,8\;\mathrm{m/s^2}. O sistema solta 20 gotas por minuto. Vamos calcular:
a) massa de cada gota;
b) velocidade ao atingir a placa;
c) momento linear de cada gota;
d) número de gotas em 2 min;
e) impulso total em 2 min;
f) força média sobre a placa, sabendo que cada gota leva \Delta t=0,2\;\mathrm{s} para parar.

Passo 2

Converter densidade e volume para SI e achar a massa da gota.
Em SI,
\rho = 1,2\;\mathrm{g/cm^3} = 1{,}2\times10^3\;\mathrm{kg/m^3},
V = 0{,}1\;\mathrm{mL} = 0{,}1\times10^{-6}\;\mathrm{m^3} = 1{,}0\times10^{-7}\;\mathrm{m^3}.
Logo a massa é
m = \rho\,V = (1{,}2\times10^3)\,(1{,}0\times10^{-7}) = 1{,}2\times10^{-4}\;\mathrm{kg}.

Passo 3

A velocidade ao atingir a placa vem de conservação de energia (ou cinemática):
v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\,(9{,}8)\,(0{,}2)} = \sqrt{3{,}92} \approx1{,}98\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

O momento linear de cada gota é
p = m\,v = (1{,}2\times10^{-4})\,(1{,}98) \approx2{,}38\times10^{-4}\;\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Em 2 min há
N = 20\;\mathrm{gotas/min}\;\times2\;\mathrm{min} = 40\;\mathrm{gotas}.

Passo 6

O impulso total recebido pela placa em 2 min é a soma dos \Delta p de todas as gotas:
J_{\rm total} = N\,p = 40\,(2{,}38\times10^{-4}) = 9{,}52\times10^{-3}\;\mathrm{N\cdot s}.

Passo 7

Cada gota leva \Delta t=0,2\;\mathrm{s} para parar. A força média exercida por uma gota é
F_{\rm gota} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2{,}38\times10^{-4}}{0{,}2} = 1{,}19\times10^{-3}\;\mathrm{N}.
Como os impactos não se sobrepõem ( 1 gota a cada 3 s), a força média durante os instantes de contato (no conjunto de 40 gotas) é
F_{\rm media} = \frac{J_{\rm total}}{N\,\Delta t} = \frac{9{,}52\times10^{-3}}{40\,(0{,}2)} = 1{,}19\times10^{-3}\;\mathrm{N}.

Resposta

a) m=1{,}2\times10^{-4}\;\mathrm{kg}.
b) v\approx1{,}98\;\mathrm{m/s}.
c) p\approx2{,}38\times10^{-4}\;\mathrm{kg\cdot m/s}.
d) N=40 gotas em 2 min.
e) J_{\rm total}=9{,}52\times10^{-3}\;\mathrm{N\cdot s}.
f) F_{\rm média}\approx1{,}19\times10^{-3}\;\mathrm{N}.é

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