Questão 12 - Uma partícula está confinada em uma caixa bidimensional, definida pelas seguintes condições de contorno: U(x, y)=0 para -L / 2 \leq x \leq L / 2 e -3 L / 2 \leq y \leq 3 L / 2 bem como U(x, y) \rightarrow \infty fora deste intervalo. (a) Determine as energias dos três estados estados mais baixos de energia. Algum destes estados é degenerado? Discuta. (b) Identifique os números quânticos dos dois estados degenerados de mais baixa energia e determine a energia destes estados. Sugestão: leiam a seção 35.5 do livro “Física para cientistas e engenheiros” volume 3, de Paul Tipler (sexta edição, LTC, 2009) .

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula livre num poço de potencial infinito bidimensional de largura em x igual a L (pois -L/2\le x\le L/2) e em y igual a 3L (pois -3L/2\le y\le3L/2). O conteúdo é “partícula num caixa bidimensional” com separação de variáveis na equação de Schrödinger. Vamos usar a solução padrão em forma de senos e a fórmula de energia
E_{n_x,n_y} =\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\Bigl(\frac{n_x^2}{L^2}+\frac{n_y^2}{(3L)^2}\Bigr) =\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\Bigl(n_x^2+\frac{n_y^2}{9}\Bigr)\,,
com n_x,n_y=1,2,3,\dots.

Passo 2

Para organizar os níveis, definimos o número
T_{n_x,n_y} =n_x^2+\frac{n_y^2}{9}\,.
Os três menores valores de T ocorrem para os pares (n_x,n_y) abaixo, calculando
T_{1,1}=1+\tfrac{1}{9}=\tfrac{10}{9},\quad T_{1,2}=1+\tfrac{4}{9}=\tfrac{13}{9},\quad T_{1,3}=1+\tfrac{9}{9}=2.
Outros candidatos como (2,1) dão T_{2,1}=4+\tfrac{1}{9}=\tfrac{37}{9}\approx4{,}11, que são maiores.

Passo 3

Convertendo cada T em energia pela relação
E_{n_x,n_y} =\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\,T_{n_x,n_y},
temos:
E_{1,1}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\,\frac{10}{9},\quad E_{1,2}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\,\frac{13}{9},\quad E_{1,3}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\,2.

Passo 4

Comparando, a ordem crescente fica:
E_{1,1}<E_{1,2}<E_{1,3}.
Como todos os três vêm de pares (n_x,n_y) distintos e não há outro par que dê o mesmo T, nenhum desses três níveis é degenerado.

Passo 5

Para achar a primeira degenerescência procuramos dois pares diferentes (n_x,n_y)\neq(m_x,m_y) tais que
n_x^2+\frac{n_y^2}{9} =m_x^2+\frac{m_y^2}{9},
ou equivalentemente
9\,n_x^2+n_y^2=9\,m_x^2+m_y^2.
Varrendo valores baixos encontramos
9\cdot1^2+6^2=9+36=45, \quad 9\cdot2^2+3^2=36+9=45,
isto é, (n_x,n_y)=(1,6) e (m_x,m_y)=(2,3) dão o mesmo valor 45.

Passo 6

Dessa forma, os dois estados degenerados de mais baixa energia são
(n_x,n_y)=(1,6) e (2,3). A energia comum vale
E_{\rm deg} =\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2} \Bigl(1+\frac{36}{9}\Bigr) =\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\,5.

Resposta

(a) Três menores níveis de energia:
E_{1,1}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\,\frac{10}{9},\quad E_{1,2}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\,\frac{13}{9},\quad E_{1,3}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\,2.
Nenhum deles é degenerado.
(b) Os dois estados degenerados de mais baixa energia são (n_x,n_y)=(1,6) e (2,3), com
E=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\,5.

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