Questão 12 - Uma partícula está confinada em uma caixa bidimensional, definida pelas seguintes condições de contorno:
para
e
bem como
fora deste intervalo. (a) Determine as energias dos três estados estados mais baixos de energia. Algum destes estados é degenerado? Discuta. (b) Identifique os números quânticos dos dois estados degenerados de mais baixa energia e determine a energia destes estados. Sugestão: leiam a seção 35.5 do livro “Física para cientistas e engenheiros” volume 3, de Paul Tipler (sexta edição, LTC, 2009) .
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula livre num poço de potencial infinito bidimensional de largura em
igual a
(pois
) e em
igual a
(pois
). O conteúdo é “partícula num caixa bidimensional” com separação de variáveis na equação de Schrödinger. Vamos usar a solução padrão em forma de senos e a fórmula de energia
com
.
Passo 2
Para organizar os níveis, definimos o número
Os três menores valores de
ocorrem para os pares
abaixo, calculando
Outros candidatos como
dão
, que são maiores.
Passo 3
Convertendo cada
em energia pela relação
temos:
Passo 4
Comparando, a ordem crescente fica:
Como todos os três vêm de pares
distintos e não há outro par que dê o mesmo
, nenhum desses três níveis é degenerado.
Passo 5
Para achar a primeira degenerescência procuramos dois pares diferentes
tais que
ou equivalentemente
Varrendo valores baixos encontramos
isto é,
e
dão o mesmo valor
.
Passo 6
Dessa forma, os dois estados degenerados de mais baixa energia são
e
. A energia comum vale
Resposta
(a) Três menores níveis de energia:
Nenhum deles é degenerado.
(b) Os dois estados degenerados de mais baixa energia são
e
, com