Uma pessoa de massa m está sentada em um pequeno andaime de massa M que está pendurado em um tronco de árvore por uma corda que passa por uma polia fixa próxima à árvore. A pessoa puxa a corda com uma força tal que a força de contato que ela exerce sobre o andaime é N. Suponha que a polia e a corda tenham massas desprezíveis.
(a) Indique isoladamente as forças que atuam sobre a pessoa e sobre o andaime.
(b) Determine a aceleração do conjunto pessoa + andaime.
(c) Determine a força que a pessoa exerce sobre a corda.
(d) Determine a tensão na corda que sustenta a polia.
Obtenha os valores numéricos dos itens (b), (c) e (d) para o caso em que m=80 \mathrm{~kg}, M=15 \mathrm{~kg} e N=500 \mathrm{~N}.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) indicar, isoladamente, as forças que atuam na pessoa e as forças que atuam no andaime;
  • (b) determinar a aceleração do conjunto pessoa + andaime;
  • (c) determinar a força que a pessoa exerce sobre a corda (ou seja, a força com que ela puxa a corda);
  • (d) determinar a tensão na corda que sustenta a polia (a corda/gancho que prende a polia ao galho).
Dados fornecidos:
  • massa da pessoa: m=80\\ \mathrm{kg};
  • massa do andaime: M=15\\ \mathrm{kg};
  • força de contato que a pessoa exerce sobre o andaime (a força com que ela empurra/apoia para baixo no andaime): N=500\\ \mathrm{N}.
  • polia e corda de massas desprezíveis.
  • adotarei g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação importante sobre interpretação do enunciado (visão do esquema): a corda passa por uma polia fixa no topo; um dos trechos da corda está preso ao andaime (ou transmite uma força vertical para o andaime) e o outro trecho é puxado pela pessoa. A corda é ideal (tensão igual em todo o comprimento). A pessoa e o andaime movem-se juntos com a mesma aceleração a.

Passo 2

Forças que atuam na pessoa (listar isoladamente e explicar cada uma):
  • peso da pessoa: \text{peso} = m g, atuando para baixo. Explicação: é a força gravitacional na massa m.
  • força normal do andaime sobre a pessoa: N (para cima). Explicação: o enunciado diz que a pessoa exerce sobre o andaime a força N; pela 3ª lei de Newton, o andaime exerce sobre a pessoa uma força de mesma magnitude e sentido oposto, ou seja, uma força vertical para cima de magnitude N.
  • força da corda sobre a pessoa: T (para cima). Explicação: quando a pessoa puxa a corda para baixo, a corda puxa a pessoa para cima com a mesma magnitude T (tensão).
Equação do movimento da pessoa (tomando sentido para cima como positivo):
N + T - m g = m a.
Aqui:
  • N é a força normal (conhecida),
  • T é a tensão na corda (ainda a determinar),
  • m a é a massa da pessoa vezes a aceleração comum a.

Passo 3

Forças que atuam no andaime (listar isoladamente e explicar cada uma):
  • peso do andaime: M g (para baixo).
  • força que a pessoa exerce sobre o andaime: N (para baixo) — dado do enunciado.
  • força da corda sobre o andaime: T (para cima). Explicação: a corda puxa o andaime para cima com a tensão T no ponto de amarração.
Equação do movimento do andaime (mesma aceleração a, sentido para cima positivo):
T - (M g + N) = M a.

Passo 4

Agora vamos combinar as duas equações para encontrar a\). As equações são: \[\begin{cases} N + T - m g = m a,\\[4pt] T - M g - N = M a. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira (isto elimina (T]):
(N + T - m g) - (T - M g - N) = m a - M a.
Simplificando o lado esquerdo:
N + T - m g - T + M g + N = (m - M) a.
2N + (M - m) g = (m - M) a.
Isolando a:
a = \frac{2N + (M - m) g}{m - M}.
Observação sobre o sinal: se m>M o denominador é positivo e o numerador normalmente também (depende de N), resultando em a>0 (movimento para cima). A fórmula foi obtida apenas por manipulação algébrica das equações de Newton dadas acima.]

Passo 5

Cálculo numérico de a com os valores dados ( m=80\\ \mathrm{kg}, M=15\\ \mathrm{kg}, N=500\\ \mathrm{N}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}):
Calcular o numerador:
2N + (M - m) g = 2\cdot 500 + (15-80)\cdot 9{,}8.
2N + (M - m) g = 1000 + (-65)\cdot 9{,}8 = 1000 - 637 = 363\\ \mathrm{N}.
Denominador:
m - M = 80 - 15 = 65\\ \mathrm{kg}.
Portanto:
a = \frac{363}{65}\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx 5{,}5846\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando razoavelmente:
a \approx 5{,}58\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ \text{(para cima).}

Passo 6

Determinar a força que a pessoa exerce sobre a corda (item (c)).
Explicação didática: em uma corda ideal (massa desprezível e sem atrito), a tensão T tem a mesma magnitude em toda a corda. A força com que a pessoa puxa a corda para baixo tem magnitude igual à tensão T. Portanto basta calcular T a partir de uma das equações de movimento. Usamos a equação da pessoa:
N + T - m g = m a \quad\Rightarrow\quad T = m a + m g - N.
Substituindo valores:
T = 80\cdot 5{,}584615 + 80\cdot 9{,}8 - 500.
Calculemos em partes:
80\cdot 5{,}584615 \approx 446{,}769\\ \mathrm{N}, \qquad 80\cdot 9{,}8 = 784\\ \mathrm{N}.
Logo
T \approx 446{,}769 + 784 - 500 = 730{,}769\\ \mathrm{N}.
Arredondando:
T \approx 7{,}31\times 10^{2}\\ \mathrm{N} \approx 731\\ \mathrm{N}.
Interpretation: a pessoa puxa a corda com aproximadamente 731\\ \mathrm{N} (para baixo); a corda puxa a pessoa para cima com a mesma magnitude.

Passo 7

Determinar a tensão na corda que sustenta a polia (item (d)).
Explicação didática: a polia fixa no galho é sujeita a duas forças para baixo, uma de cada trecho da corda (cada trecho com magnitude T), porque a corda passa sobre a polia e os dois trechos verticais puxam para baixo. Portanto o suporte (a corda/gancho que prende a polia ao galho) precisa exercer uma força para cima igual à soma dessas duas tensões: 2T. Assim a “tensão na corda que sustenta a polia” (o esforço que o gancho/corda do galho deve sustentar) é:
T_{\text{suporte da polia}} = 2T.
Substituindo o valor calculado para T:
T_{\text{suporte da polia}} \approx 2\cdot 730{,}769 = 1\,461{,}538\\ \mathrm{N}.
Arredondando:
T_{\text{suporte da polia}} \approx 1{,}46\times 10^{3}\\ \mathrm{N} \approx 1{,}46\\ \mathrm{kN}.

Resposta

(a) Forças na pessoa: m g para baixo; N para cima (força do andaime sobre a pessoa); T para cima (força da corda sobre a pessoa).
Forças no andaime: M g para baixo; N para baixo (força da pessoa sobre o andaime); T para cima (força da corda sobre o andaime).
(b) a \approx 5{,}58\\ \mathrm{m/s^{2}} (para cima).
(c) força que a pessoa exerce sobre a corda: F_{\text{pessoa na corda}} = T \approx 7{,}31\times 10^{2}\\ \mathrm{N} (aprox. 731\\ \mathrm{N}).
(d) tensão na corda que sustenta a polia: 2T \approx 1{,}46\times 10^{3}\\ \mathrm{N} (aprox. 1{,}462\\ \mathrm{kN}).

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