Uma pessoa de massa
está sentada em um pequeno andaime de massa
que está pendurado em um tronco de árvore por uma corda que passa por uma polia fixa próxima à árvore. A pessoa puxa a corda com uma força tal que a força de contato que ela exerce sobre o andaime é
. Suponha que a polia e a corda tenham massas desprezíveis.
(a) Indique isoladamente as forças que atuam sobre a pessoa e sobre o andaime.
(b) Determine a aceleração do conjunto pessoa + andaime.
(c) Determine a força que a pessoa exerce sobre a corda.
(d) Determine a tensão na corda que sustenta a polia.
Obtenha os valores numéricos dos itens (b), (c) e (d) para o caso em que
e
.
(a) Indique isoladamente as forças que atuam sobre a pessoa e sobre o andaime.
(b) Determine a aceleração do conjunto pessoa + andaime.
(c) Determine a força que a pessoa exerce sobre a corda.
(d) Determine a tensão na corda que sustenta a polia.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) indicar, isoladamente, as forças que atuam na pessoa e as forças que atuam no andaime;
- (b) determinar a aceleração do conjunto pessoa + andaime;
- (c) determinar a força que a pessoa exerce sobre a corda (ou seja, a força com que ela puxa a corda);
- (d) determinar a tensão na corda que sustenta a polia (a corda/gancho que prende a polia ao galho).
Dados fornecidos:
- massa da pessoa:
; - massa do andaime:
; - força de contato que a pessoa exerce sobre o andaime (a força com que ela empurra/apoia para baixo no andaime):
. - polia e corda de massas desprezíveis.
- adotarei
.
Observação importante sobre interpretação do enunciado (visão do esquema): a corda passa por uma polia fixa no topo; um dos trechos da corda está preso ao andaime (ou transmite uma força vertical para o andaime) e o outro trecho é puxado pela pessoa. A corda é ideal (tensão igual em todo o comprimento). A pessoa e o andaime movem-se juntos com a mesma aceleração
.
Passo 2
Forças que atuam na pessoa (listar isoladamente e explicar cada uma):
- peso da pessoa:
, atuando para baixo. Explicação: é a força gravitacional na massa . - força normal do andaime sobre a pessoa:
(para cima). Explicação: o enunciado diz que a pessoa exerce sobre o andaime a força ; pela 3ª lei de Newton, o andaime exerce sobre a pessoa uma força de mesma magnitude e sentido oposto, ou seja, uma força vertical para cima de magnitude . - força da corda sobre a pessoa:
(para cima). Explicação: quando a pessoa puxa a corda para baixo, a corda puxa a pessoa para cima com a mesma magnitude (tensão).
Equação do movimento da pessoa (tomando sentido para cima como positivo):
Aqui:
-
é a força normal (conhecida), -
é a tensão na corda (ainda a determinar), -
é a massa da pessoa vezes a aceleração comum .
Passo 3
Forças que atuam no andaime (listar isoladamente e explicar cada uma):
- peso do andaime:
(para baixo). - força que a pessoa exerce sobre o andaime:
(para baixo) — dado do enunciado. - força da corda sobre o andaime:
(para cima). Explicação: a corda puxa o andaime para cima com a tensão no ponto de amarração.
Equação do movimento do andaime (mesma aceleração
, sentido para cima positivo):
Passo 4
Agora vamos combinar as duas equações para encontrar
Subtraindo a segunda equação da primeira (isto elimina (T]):
Simplificando o lado esquerdo:
Simplificando o lado esquerdo:
Isolando
:
Observação sobre o sinal: se
o denominador é positivo e o numerador normalmente também (depende de
), resultando em
(movimento para cima). A fórmula foi obtida apenas por manipulação algébrica das equações de Newton dadas acima.]
Passo 5
Cálculo numérico de
com os valores dados (
,
,
,
):
Calcular o numerador:
Denominador:
Portanto:
Arredondando razoavelmente:
Passo 6
Determinar a força que a pessoa exerce sobre a corda (item (c)).
Explicação didática: em uma corda ideal (massa desprezível e sem atrito), a tensão
tem a mesma magnitude em toda a corda. A força com que a pessoa puxa a corda para baixo tem magnitude igual à tensão
. Portanto basta calcular
a partir de uma das equações de movimento. Usamos a equação da pessoa:
Substituindo valores:
Calculemos em partes:
Logo
Arredondando:
Interpretation: a pessoa puxa a corda com aproximadamente
(para baixo); a corda puxa a pessoa para cima com a mesma magnitude.
Passo 7
Determinar a tensão na corda que sustenta a polia (item (d)).
Explicação didática: a polia fixa no galho é sujeita a duas forças para baixo, uma de cada trecho da corda (cada trecho com magnitude
), porque a corda passa sobre a polia e os dois trechos verticais puxam para baixo. Portanto o suporte (a corda/gancho que prende a polia ao galho) precisa exercer uma força para cima igual à soma dessas duas tensões:
. Assim a “tensão na corda que sustenta a polia” (o esforço que o gancho/corda do galho deve sustentar) é:
Substituindo o valor calculado para
:
Arredondando:
Resposta
(a) Forças na pessoa:
para baixo;
para cima (força do andaime sobre a pessoa);
para cima (força da corda sobre a pessoa).
Forças no andaime: para baixo;
para baixo (força da pessoa sobre o andaime);
para cima (força da corda sobre o andaime).
Forças no andaime:
(b)
(para cima).
(c) força que a pessoa exerce sobre a corda:
(aprox.
).
(d) tensão na corda que sustenta a polia:
(aprox.
).