2- Resolver os sistemas lineares não homogêneos de EDÓs pelo método dos coeficientes indeterminados
a) \quad \boldsymbol{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{1} & \mathbf{2} \\\ \mathbf{0} & \mathbf{1}\end{array}\right) \boldsymbol{X}+e^{t}\binom{4}{8}
(caso de autovalor \lambda com multiplicidade 2 que coincide com \alpha )
b) \quad \boldsymbol{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{1} & -\mathbf{1} \\\\ -\mathbf{1} & \mathbf{1}\end{array}\right) \boldsymbol{X}+e^{2 t}\binom{\mathbf{2}}{\mathbf{4}}
c) Para os itens a) e b), determine \Psi(t) para \mathrm{t}_{0}=0 e mostre que \Psi^{\prime}(t)=\mathrm{A} \Psi(t).
Passo 1
O enunciado pede para cada sistema linear não-homogêneo: encontrar a solução geral \boldsymbol{X}(t) usando o método dos coeficientes indeterminados e, além disso, para os itens a) e b) determinar a matriz fundamental \Psi(t) com \mathrm{t}_0=0 e mostrar que \Psi'(t)=A\Psi(t).
Para (a) e (b): achar a solução geral \boldsymbol{X}(t) por coeficientes indeterminados.
Para (a) e (b): encontrar \Psi(t) com \Psi(0)=I e verificar que \Psi'(t)=A\Psi(t).
Observações sobre as informações:
Em (a) o termo não-homogêneo é e^{t}\binom{4}{8}. Note que e^{t} corresponde ao autovalor \lambda=1 de A (autovalor de multiplicidade 2 no caso de A triangular superior).
Em (b) o termo não-homogêneo é e^{2t}\binom{2}{4}. Note que 2 é um autovalor de A (há ressonância também, mas de ordem 1).]
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação didática curta):
A solução geral de um sistema linear não-homogêneo \boldsymbol{X}'=A\boldsymbol{X}+\boldsymbol{f}(t) é\boldsymbol{X}(t)=\boldsymbol{X}_h(t)+\boldsymbol{X}_p(t),onde \boldsymbol{X}_h é a solução geral do homogêneo \boldsymbol{X}'=A\boldsymbol{X} e \boldsymbol{X}_p é uma solução particular.
Método dos coeficientes indeterminados: quando \boldsymbol{f}(t) é da forma e^{\alpha t}P(t) com P polinomial, tentamos um palpite (ansatz) do mesmo tipo multiplicado por uma potência de t para tratar ressonância. A potência de t é escolhida para que nosso palpite não coincida com nenhuma solução do homogêneo (se houver termos como e^{\alpha t}, te^{\alpha t},\dots no homogêneo, multiplicamos por t^r com r suficiente).
Matriz fundamental \Psi(t): matriz 2×2 cujas colunas são duas soluções independentes do homogêneo; se escolhermos as colunas de modo que \Psi(0)=I, então \Psi satisfaz \Psi'(t)=A\Psi(t) e \Psi(t)=e^{A t}.
Agora aplicamos tudo passo a passo aos itens.
Passo 3
Item (a) — resolver o homogêneo e entender a ressonância.
Observação de ressonância: o termo não-homogêneo é e^{t}\binom{4}{8}. No homogêneo aparecem termos e^{t} e t e^{t}, portanto há ressonância de ordem que faz com que o palpite principal de forma e^{t} seja insuficiente; precisamos tentar um palpite com polinômio de grau suficiente multiplicando e^{t}. No caso, um polinômio de grau 2 dará liberdade suficiente (explico no próximo passo).]
Passo 4
Item (a) — palpite por coeficientes indeterminados e solução particular.
Como o homogêneo contém e^{t}\) e \(t e^{t}\), tentamos um palpite da forma
\[\boldsymbol{X}_p(t) = e^{t}\bigl( \mathbf{p}\,t^2 + \mathbf{q}\,t + \mathbf{r}\bigr),
onde \mathbf{p},\mathbf{q},\mathbf{r} são vetores constantes desconhecidos (cada um em \mathbb{R}^2). Esta escolha permite termos até t^2 e^{t}, que não aparecem no homogêneo, garantindo independência.
Calculemos \boldsymbol{X}_p' e A\boldsymbol{X}_p. Primeiro, derivada (regra do produto):
Agora use I-A=\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\]. Escrevendo \(\mathbf{p}=(p_1,p_2)^T etc.:
Da primeira equação (I-A)\mathbf{p}=\mathbf{0} vem -2p_2 = 0\Rightarrow p_2=0. Assim \mathbf{p}=(p_1,0)^T.
Da segunda equação (I-A)\mathbf{q}=-2\mathbf{p} dá -2q_2 = -2 p_1 \Rightarrow q_2 = p_1. Assim \mathbf{q}=(q_1,p_1)^T.
Da terceira equação (I-A)\mathbf{r} = \binom{4}{8} - \mathbf{q} dá -2 r_2 = 4 - q_1 e 0 = 8 - q_2. Da segunda igualdade q_2 = 8, logo p_1 = q_2 = 8. Então p_1=8. Da primeira igualdade obtemos r_2 = (q_1 - 4)/2. q_1 e r_1 ficam livres (são parâmetros associados à parte homogênea); para encontrar uma particular concreta podemos escolher valores convenientes para estes livres.
Escolhemos para simplicidade q_1=0 e r_1=0. Com isso:
Verificação rápida (opcional): substituir em \boldsymbol{X}_p' - A\boldsymbol{X}_p dá exatamente e^{t}\binom{4}{8}, portanto \boldsymbol{X}_p está correta.]
Passo 5
Item (a) — solução geral e matriz fundamental \Psi(t) com \Psi(0)=I.
A solução geral é soma do homogêneo e do particular:
Agora a matriz fundamental \Psi(t) (escolhendo colunas que formam a base canônica em t=0) pode ser tomada diretamente das duas soluções independentes do homogêneo que em t=0 formam [1,0]^T e [0,1]^T. Observe:
Solução 1: \varphi_1(t)=e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} satisfa z \varphi_1(0)=[1;0].
Solução 2: \varphi_2(t)=e^{t}\begin{pmatrix}2t\\[4pt]1\end{pmatrix} satisfa z \varphi_2(0)=[0;1].
Para \lambda_1=0: resolver A v=0 dá v_1=v_2. Um autovetor conveniente é \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}. A solução associada é constante \boldsymbol{y}_1(t)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2: resolver (A-2I)v=0 dá v_1=-v_2. Um autovetor é \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}. A solução associada é \boldsymbol{y}_2(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
O termo de forçamento é e^{2t}\binom{2}{4}, ou seja e^{2t} com um vetor constante. Como 2 é autovalor simples (aparece no homogêneo com e^{2t} multiplicado por um autovetor), há ressonância de ordem 1 e devemos multiplicar por t no palpite; um palpite polinomial de grau 1 será suficiente: e^{2t}( \mathbf{p} t + \mathbf{q}).]
Passo 7
Item (b) — palpite e cálculo da solução particular.
Calcule 2I-A = \begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}\]. Da primeira equação segue
\[\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}\mathbf{p}=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad p_1+p_2=0,\]
logo podemos escrever \(\mathbf{p}=s\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} para algum escalar s.
Da segunda equação, escrevendo \mathbf{q}=(q_1,q_2)^T, temos
Com s=-1 obtemos q_1+q_2 = 2 - s = 3. Assim \mathbf{q} satisfaz q_1+q_2=3; há uma liberdade (associada à solução homogênea). Para simplicidade escolhemos \mathbf{q}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix} (qualquer escolha com soma 3 funciona).
No instante t=0 temos \boldsymbol{y}_1(0)=[1;1] e \boldsymbol{y}_2(0)=[1;-1]. Para obter \Psi(0)=I precisamos formar colunas que valham os vetores canônicos em t=0. Escrevemos a combinação linear: