Uma pessoa nadando 0,80 \mathrm{~m} abaixo da superfície da água em uma piscina olha para o trampolim que está diretamente acima e vê a imagem do trampolim que é formada pela refração na superfície da água. Essa imagem possui uma altura de 5,20 m acima do nadador. Qual é a altura real do trampolim a partir da superfície da água?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar bem claro):
  • A pessoa (o nadador) está a 0,80\\ \mathrm{m} abaixo da superfície da água. Vou chamar essa distância de d, ou seja d=0{,}80\\ \mathrm{m}.
  • O nadador vê, através da refração na superfície, a imagem do trampolim diretamente acima. Essa imagem tem altura de 5{,}20\\ \mathrm{m} acima do nadador (ou seja, a imagem está 5{,}20\\ \mathrm{m} acima da posição do olho do nadador).
  • A pergunta: Qual é a altura real do trampolim a partir da superfície da água? — isto é, qual é a distância entre o trampolim e a superfície (vou chamar essa altura real de H).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • d=0{,}80\\ \mathrm{m} (profundidade do nadador abaixo da superfície).
  • A imagem está 5{,}20\\ \mathrm{m} acima do nadador.
  • Precisamos relacionar a posição da imagem vista pelo nadador com a posição real do trampolim em relação à superfície.

Passo 2

Conceito físico que precisamos usar (explicação didática e passo a passo):
Quando um objeto no ar (o trampolim) é visto por um observador na água, os raios vindos do objeto refratam ao atravessar a superfície plana água–ar. Para pequenos ângulos (o caso usual quando olhamos quase verticalmente para cima), dá para usar uma relação simples entre a distância real do objeto à superfície e a distância aparente (a da imagem) vista do outro lado.
Vamos fazer um desenho mental simples e usar trigonometria aproximada (pequenos ângulos). Considere um ponto do trampolim a uma altura H acima da superfície. Pegue um raio que sai desse ponto, atinge a superfície num ponto deslocado horizontalmente x do eixo vertical e entra na água formando ângulo \theta_{\text{ar}} com a normal no ar e \theta_{\text{água}}á no lado da água. Pelas definições geométricas:
\tan\theta_{\text{ar}}=\frac{x}{H}, \qquad \tan\theta_{\text{água}}=\frac{x}{s_{\text{imagem}}},á
onde s_{\text{imagem}} é a distância vertical (no ar) da superfície até o ponto onde a imagem virtual parece estar (a imagem está no ar, acima da superfície, porque a refração faz parecer que os raios vêm de um ponto diferente no ar).
A lei de Snell relaciona os ângulos com os índices de refração n_{\text{ar}} e n_{\text{água}}á:
n_{\text{ar}}\sin\theta_{\text{ar}}=n_{\text{água}}\sin\theta_{\text{água}}.áá
Para pequenos \theta usamos \sin\theta\approx\tan\theta (aproximação para ângulos pequenos), então
n_{\text{ar}}\tan\theta_{\text{ar}} \approx n_{\text{água}}\tan\theta_{\text{água}}.áá
Substituindo as tangentes dos triângulos que escrevemos:
n_{\text{ar}}\frac{x}{H} \approx n_{\text{água}}\frac{x}{s_{\text{imagem}}}.á
Cancelando x (não-zero) obtemos a relação simples:
\boxed{\,s_{\text{imagem}}=\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{ar}}}\,H\,.}á
Interpretação: a imagem do objeto no ar, vista de dentro d’água, aparece numa posição no ar que é um fator \dfrac{n_{\text{água}}}{n_{\text{ar}}}á vezes a altura real do objeto. Note que essa imagem é virtual (aparece no mesmo lado do objeto, no ar).

Passo 3

Calcular a posição da imagem acima da superfície usando os dados do enunciado:
O enunciado deu a distância da imagem ao nadador: 5{,}20\\ \mathrm{m} acima do nadador. O nadador está 0{,}80\\ \mathrm{m} abaixo da superfície, então a altura da imagem medida a partir da superfície é
s_{\text{imagem}} = -d + 5{,}20\\ \mathrm{m} = -0{,}80\\ \mathrm{m} + 5{,}20\\ \mathrm{m} = 4{,}40\\ \mathrm{m}.
Aqui usei o fato de que o nadador está a 0{,}80\\ \mathrm{m} abaixo da superfície, então somando 5{,}20\\ \mathrm{m} para cima obtemos 4{,}40\\ \mathrm{m} acima da superfície.

Passo 4

Escolher valores dos índices de refração e usar a relação:
Para ar usa-se n_{\text{ar}}=1 (aproximação ótima) e para água doce uma aproximação muito comum é n_{\text{água}}=\tfrac{4}{3}á (que é 1{,}333\ldots). Usando a fórmula do passo 2:
s_{\text{imagem}}=\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{ar}}}\,H \quad\Longrightarrow\quad H=\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}\,s_{\text{imagem}}.áá

Passo 5

Substituir os números e calcular H:
H=\frac{1}{\tfrac{4}{3}}\;s_{\text{imagem}}=\frac{3}{4}\;s_{\text{imagem}}.
Como s_{\text{imagem}}=4{,}40\\ \mathrm{m},
H=\frac{3}{4}\times4{,}40\\ \mathrm{m}=3{,}30\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida:
  • Resultado: o trampolim está a 3{,}30\\ \mathrm{m} acima da superfície.
  • Verificação de ordem de grandeza: imagem (aparente) 4{,}40\\ \mathrm{m} acima da superfície é maior que a altura real 3{,}30\\ \mathrm{m} por um fator 4/3, o que faz sentido pois, visto de dentro d’água, objetos no ar parecem um pouco mais altos (mais distantes) devido à refração.
Força aí — dá pra decorar a relação prática: visto da água, a altura aparente de algo no ar é aproximadamente 1{,}33 vezes a altura real (com n_{\text{água}}\approx4/3á). Isso ajuda a resolver rápido na prova.

Resposta

3{,}30\\ \mathrm{m}

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