Uma pessoa nadando
abaixo da superfície da água em uma piscina olha para o trampolim que está diretamente acima e vê a imagem do trampolim que é formada pela refração na superfície da água. Essa imagem possui uma altura de 5,20 m acima do nadador. Qual é a altura real do trampolim a partir da superfície da água?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar bem claro):
- A pessoa (o nadador) está a
abaixo da superfície da água. Vou chamar essa distância de , ou seja . - O nadador vê, através da refração na superfície, a imagem do trampolim diretamente acima. Essa imagem tem altura de
acima do nadador (ou seja, a imagem está acima da posição do olho do nadador). - A pergunta: Qual é a altura real do trampolim a partir da superfície da água? — isto é, qual é a distância entre o trampolim e a superfície (vou chamar essa altura real de
).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
-
(profundidade do nadador abaixo da superfície). - A imagem está
acima do nadador. - Precisamos relacionar a posição da imagem vista pelo nadador com a posição real do trampolim em relação à superfície.
Passo 2
Conceito físico que precisamos usar (explicação didática e passo a passo):
Quando um objeto no ar (o trampolim) é visto por um observador na água, os raios vindos do objeto refratam ao atravessar a superfície plana água–ar. Para pequenos ângulos (o caso usual quando olhamos quase verticalmente para cima), dá para usar uma relação simples entre a distância real do objeto à superfície e a distância aparente (a da imagem) vista do outro lado.
Quando um objeto no ar (o trampolim) é visto por um observador na água, os raios vindos do objeto refratam ao atravessar a superfície plana água–ar. Para pequenos ângulos (o caso usual quando olhamos quase verticalmente para cima), dá para usar uma relação simples entre a distância real do objeto à superfície e a distância aparente (a da imagem) vista do outro lado.
Vamos fazer um desenho mental simples e usar trigonometria aproximada (pequenos ângulos). Considere um ponto do trampolim a uma altura
acima da superfície. Pegue um raio que sai desse ponto, atinge a superfície num ponto deslocado horizontalmente
do eixo vertical e entra na água formando ângulo
com a normal no ar e
no lado da água. Pelas definições geométricas:
onde
é a distância vertical (no ar) da superfície até o ponto onde a imagem virtual parece estar (a imagem está no ar, acima da superfície, porque a refração faz parecer que os raios vêm de um ponto diferente no ar).
A lei de Snell relaciona os ângulos com os índices de refração
e
:
Para pequenos
usamos
(aproximação para ângulos pequenos), então
Substituindo as tangentes dos triângulos que escrevemos:
Cancelando
(não-zero) obtemos a relação simples:
Interpretação: a imagem do objeto no ar, vista de dentro d’água, aparece numa posição no ar que é um fator
vezes a altura real do objeto. Note que essa imagem é virtual (aparece no mesmo lado do objeto, no ar).
Passo 3
Calcular a posição da imagem acima da superfície usando os dados do enunciado:
O enunciado deu a distância da imagem ao nadador: acima do nadador. O nadador está
abaixo da superfície, então a altura da imagem medida a partir da superfície é
O enunciado deu a distância da imagem ao nadador:
Aqui usei o fato de que o nadador está a
abaixo da superfície, então somando
para cima obtemos
acima da superfície.
Passo 4
Escolher valores dos índices de refração e usar a relação:
Para ar usa-se (aproximação ótima) e para água doce uma aproximação muito comum é
(que é
). Usando a fórmula do passo 2:
Para ar usa-se
Passo 5
Substituir os números e calcular
:
Como
,
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida:
- Resultado: o trampolim está a
acima da superfície. - Verificação de ordem de grandeza: imagem (aparente)
acima da superfície é maior que a altura real por um fator , o que faz sentido pois, visto de dentro d’água, objetos no ar parecem um pouco mais altos (mais distantes) devido à refração.
Força aí — dá pra decorar a relação prática: visto da água, a altura aparente de algo no ar é aproximadamente
vezes a altura real (com
). Isso ajuda a resolver rápido na prova.