Um slide fotográfico está situado à esquerda de uma lente. A lente projeta a imagem do slide sobre uma parede situada 6,0 \mathrm{~m} à direita do slide. O tamanho da imagem é 80 vezes maior que o tamanho do slide. (a) Qual é a distância entre o slide e a lente?
(b) A imagem é direita ou invertida? (c) Qual é a distância focal da lente? (d) A lente é convergente ou divergente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quatro coisas:
  • Informação 1: a distância entre o slide (objeto) e a parede (onde aparece a imagem) é 6{,}0\\ \mathrm{m}. Ou seja, a distância objeto–imagem é 6{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Informação 2: o tamanho da imagem é 80 vezes o tamanho do slide (imagem maior que o objeto por fator 80).
    As perguntas são:
    (a) Qual é a distância entre o slide e a lente?
    (b) A imagem é direita (não invertida) ou invertida?
    (c) Qual é a distância focal da lente?
    (d) A lente é convergente ou divergente?

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas e convenções que precisamos (explicando passo a passo).
  • Definições de distâncias: seja s_o a distância do objeto (slide) à lente e s_i a distância da lente até a imagem (na parede). Nessas convenções, se o objeto está à esquerda da lente então s_o>0; se a imagem é real e aparece à direita da lente, então s_i>0.
  • A ampliação linear (magnificação) lateral é dada por
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{s_i}{s_o},
onde h_i é o tamanho da imagem e h_o o tamanho do objeto. O sinal negativo aparece porque uma imagem real formada por uma lente delgada é invertida em relação ao objeto (ampliação negativa indica inversão). Então:
  • Se m>0 a imagem é direita; se m<0 a imagem é invertida.
  • O valor absoluto |m|=\dfrac{|h_i|}{|h_o|}=\dfrac{s_i}{s_o} indica a razão de tamanhos.
  • A equação da lente delgada (fórmula dos fabricantes) é
\frac{1}{f}=\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i},
onde f é a distância focal (positiva para lentes convergentes, negativa para divergentes).

Passo 3

Usar os dados numéricos com as fórmulas: o enunciado diz que a imagem é 80 vezes maior que o slide, ou seja |m|=80. Como a imagem projetada numa parede por uma lente é uma imagem real (geralmente), a ampliação é negativa: m=-80. Assim
m=-\frac{s_i}{s_o}=-80.
Dessa igualdade segue
\frac{s_i}{s_o}=80\quad\Rightarrow\quad s_i=80\,s_o.

Passo 4

Relacionar com a distância total objeto–imagem. O slide e a parede estão separados por 6{,}0\\ \mathrm{m}, e a lente está entre eles, portanto
s_o+s_i=6{,}0\\ \mathrm{m}.
Substituindo s_i=80\,s_o obtemos
s_o+80\,s_o=81\,s_o=6{,}0\\ \mathrm{m}.
Logo
s_o=\frac{6{,}0}{81}=\frac{2}{27}\\ \mathrm{m}\approx0{,}07407\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
s_o\approx7{,}407\\ \mathrm{cm}\approx7{,}4\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calcular a distância da imagem s_i usando s_i=80\,s_o:
s_i=80\cdot\frac{2}{27}=\frac{160}{27}\\ \mathrm{m}\approx5{,}9259\\ \mathrm{m}\approx5{,}93\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: s_o+s_i\approx0{,}07407+5{,}92593=6{,}0\\ \mathrm{m}, bate com o enunciado.

Passo 6

Calcular a distância focal f usando a equação da lente. Uma forma prática é usar a expressão equivalente
f=\frac{s_o s_i}{s_o+s_i}.
Substituindo s_o+s_i=6{,}0\\ \mathrm{m} e s_i=80\,s_o
f=\frac{s_o\cdot 80\,s_o}{6{,}0}=\frac{80\,s_o^2}{6{,}0}.
Mas é mais direto usar os valores numéricos já obtidos:
f=\frac{s_o s_i}{6{,}0}=\frac{\left(\dfrac{2}{27}\right)\left(\dfrac{160}{27}\right)}{6{,}0}=\frac{480}{6561}\\ \mathrm{m}\approx0{,}07317\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
f\approx7{,}317\\ \mathrm{cm}\approx7{,}32\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Determinar orientação da imagem e tipo de lente:
  • Orientação: como usamos m=-80 (ampliação negativa) e a imagem foi encontrada com s_i>0 (imagem real à direita), a imagem é invertida em relação ao slide. Logo a imagem é invertida.
  • Tipo de lente: o valor de f é positivo ( f\approx0{,}07317\\ \mathrm{m}), portanto a lente é convergente (lente positiva/convergente forma imagens reais à direita quando o objeto está à esquerda).

Resposta

(a) s_o=\dfrac{6{,}0}{81}=\dfrac{2}{27}\\ \mathrm{m}\approx0{,}074\\ \mathrm{m} (aprox. 7{,}4\\ \mathrm{cm})
(b) A imagem é invertida.
(c) f\approx0{,}0732\\ \mathrm{m} (aprox. 7{,}32\\ \mathrm{cm})
(d) A lente é convergente.

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