2- Uma pessoa está em uma plataforma de 2,5 m de altura colocada em um terreno plano. Uma bola é chutada com uma velocidade de 20 m / s em um ângulo de 30^circ em relação a horizontal. (a) A que distância horizontal, a partir da base da plataforma (y=0,0), a bola cai no solo. (b) Calcule as componentes, vertical e horizontal, da velocidade da bola quando ela toca no solo. (c) Qual é o ângulo, em relação à horizontal, da velocidade da bola quando essa atinge o solo?

Passo 1

O enunciado descreve um movimento de projétil lançado de uma plataforma de altura 2,5 m com velocidade inicial v0=20 m/s e ângulo de lançamento theta0=30^circ acima da horizontal. Precisamos usar a decomposição da velocidade inicial em componentes horizontais e verticais, a equação do movimento vertical para achar o tempo de voo, e então obter alcance horizontal, as componentes da velocidade ao atingir o solo e o ângulo de impacto.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial em eixos x e y:
v0x = v0costheta0 , v0y = v0sintheta0
Como cos30^circ=tfracraiz32 e sin30^circ=tfrac12,
v0x = 20cdotraiz32approx17,32 m/s, v0y = 20cdot12 = 10 m/s

Passo 3

Usamos a equação do deslocamento vertical, tomando y=0 no solo e y0=2,5 m:
y(t)=y0 + v0yt - 12,g,t^2
No instante de queda y(t)=0, logo
0 = 2,5 + 10,t - tfrac12cdot9,8,t^2 ;Longrightarrow; 4,9,t^2 - 10,t - 2,5 = 0
Resolvendo para t>0,
t = 10 + raiz10^2 + 4cdot4,9cdot2,52cdot4,9 = 10 + raiz100 + 499,8 approx2,27 s

Passo 4

O alcance horizontal é dado por
x = v0x,t
Substituindo v0xapprox17,32 m/s e tapprox2,27 s,
x approx17,32 times 2,27 approx39,3 m

Passo 5

A componente vertical da velocidade ao atingir o solo é
vy(t) = v0y - g,t = 10 - 9,8cdot2,27 approx -12,3 m/s
A componente horizontal permanece vx = v0xapprox17,32 m/s.

Passo 6

O ângulo de impacto phi em relação à horizontal é
phi = arctan!gl|vyvxgr| = arctan!l(12,317,32r) approx35,3^circ,
abaixo da horizontal.

Resposta

(a) xapprox39,3 m
(b) vxapprox17,32 m/s, ;vyapprox-12,3 m/s
(c) phiapprox35,3^circ abaixo da horizontal

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