Uma pessoa precisa ativar o alarme de sua residência cuja senha é formada por quatro algarismos distintos e ela lembra apenas que o primeiro algarismo é 5 e que o último é 3. A central do alarme permite apenas uma tentativa a cada 2 minutos. Na pior situação possível, qual é a maior duração de tempo que ela poderá levar para ativar o alarme digitando senha após senha?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão diz: a senha tem 4 algarismos todos diferentes, o primeiro é 5 e o último é 3. A gente só lembra disso. A central do alarme só deixa você tentar uma senha a cada 2 minutos. Pergunta: na pior das hipóteses (ou seja, se o código correto for o último que você testar), quanto tempo vai demorar até você finalmente acertar?
Conteúdo envolvido:
- Princípio de contagem de permutações (quando a ordem importa).
- Cálculo do número de tentativas possíveis.
- Conversão desse número no tempo total (lembrando que o primeiro palpite é instantâneo e depois você espera 2 min entre cada tentativa).
Passo 2
Vamos contar quantas senhas possíveis existem dado que:
- O 1º dígito é 5.
- O 4º dígito é 3.
- Os dois dígitos do meio têm que ser distintos entre si e também diferentes de 5 e de 3.
Como tem 10 dígitos (0 a 9) e já usei 5 e 3, sobram 8 dígitos para preencher as duas posições do meio.
A gente precisa escolher 2 dígitos desses 8 e ainda decidir a ordem deles. Isso é uma permutação de 8 elementos tomados de 2 em 2, cuja fórmula é:
A gente precisa escolher 2 dígitos desses 8 e ainda decidir a ordem deles. Isso é uma permutação de 8 elementos tomados de 2 em 2, cuja fórmula é:
Passo 3
Então existem 56 senhas diferentes que atendem às condições. Na pior situação, o correto é a última que você vai testar.
Você faz o 1º palpite imediatamente (tempo zero), e depois de cada palpite errado aguarda 2 minutos para tentar de novo. Se o correto for o 56º palpite, você vai ter 55 intervalos de espera de 2 min cada.
Você faz o 1º palpite imediatamente (tempo zero), e depois de cada palpite errado aguarda 2 minutos para tentar de novo. Se o correto for o 56º palpite, você vai ter 55 intervalos de espera de 2 min cada.
Tempo total de espera =
minutos = 110 minutos.
Resposta
110 minutos (ou 1 hora e 50 minutos).