Se
, encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a primeira e a segunda derivadas:
e
.
Informações relevantes que temos: a função é uma razão de dois polinômios; o denominador nunca é zero para
(logo a função é definida para todo
real).
Informações relevantes que temos: a função é uma razão de dois polinômios; o denominador
Passo 2
Escolha do método e revisão de regras que vou usar (aqui explicadinhas passo a passo):
- Para derivar uma razão
uso a regra do quociente: se e são diferenciáveis então
Aqui
e
.
- Para derivar potências do tipo
uso a regra da cadeia: se então
- Para derivar
(com inteiro) uso .
Vou aplicar a regra do quociente para obter
e depois usar produto/ cadeia para obter
de forma organizada.
Passo 3
Calcular
e
. Definindo
temos
Passo 4
Aplicar a regra do quociente:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Coloco
em evidência:
Portanto
Observação rápida: como
para todo
, essa expressão é válida para todo
.
Passo 5
Agora vou calcular
. É mais prático reescrever
como produto usando potências:
Vou usar a regra do produto: se
então
. Aqui
e
.
Calculo das derivadas parciais:
Para
uso a regra da cadeia: com
e
,
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Simplifico o segundo termo:
Logo
Coloco sobre o mesmo denominador
: multiplico o primeiro termo por
:
Fatorando
:
Passo 7
Resumo das fórmulas usadas (pequena revisão para fixar):
- Regra do quociente:
. - Regra do produto:
. - Regra da cadeia para potências:
.
E motivação final: as expressões encontradas estão em formas simples e com denominador positivo para todo
, facilitando análises futuras (sinal, extremos, concavidade, etc.).