Se f(x)=\left(x^{2}-1\right) /\left(x^{2}+1\right), encontre f^{\prime}\left((x)\right. e f^{\prime \prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}
e pede para encontrar a primeira e a segunda derivadas: f'(x) e f''(x).
Informações relevantes que temos: a função é uma razão de dois polinômios; o denominador x^{2}+1 nunca é zero para x\in\mathbb{R} (logo a função é definida para todo x real).

Passo 2

Escolha do método e revisão de regras que vou usar (aqui explicadinhas passo a passo):
  • Para derivar uma razão u(x)/v(x) uso a regra do quociente: se u e v são diferenciáveis então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=x^{2}-1 e v(x)=x^{2}+1.
  • Para derivar potências do tipo (\text{algo})^{n} uso a regra da cadeia: se g(x)=(h(x))^{n} então
g'(x)=n\,(h(x))^{\,n-1}\cdot h'(x).
  • Para derivar x^{n} (com n inteiro) uso \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Vou aplicar a regra do quociente para obter f'(x) e depois usar produto/ cadeia para obter f''(x) de forma organizada.

Passo 3

Calcular u' e v'. Definindo
u(x)=x^{2}-1,\qquad v(x)=x^{2}+1,
temos
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=2x.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(2x)(x^{2}+1)-(x^{2}-1)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
(2x)(x^{2}+1)-(x^{2}-1)(2x)=2x(x^{2}+1)-2x(x^{2}-1).
Coloco 2x em evidência:
2x\big[(x^{2}+1)-(x^{2}-1)\big]=2x\big(x^{2}+1-x^{2}+1\big)=2x\cdot 2=4x.
Portanto
f'(x)=\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Observação rápida: como x^{2}+1>0 para todo x, essa expressão é válida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Agora vou calcular f''(x). É mais prático reescrever f'(x) como produto usando potências:
f'(x)=4x\,(x^{2}+1)^{-2}.
Vou usar a regra do produto: se p(x)=a(x)\,b(x) então p'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x). Aqui a(x)=4x e b(x)=(x^{2}+1)^{-2}.
Calculo das derivadas parciais:
a'(x)=4.
Para b'(x) uso a regra da cadeia: com b(x)=(h(x))^{-2} e h(x)=x^{2}+1,
b'(x)=-2\,(h(x))^{-3}\cdot h'(x)=-2\,(x^{2}+1)^{-3}\cdot(2x)=-4x\,(x^{2}+1)^{-3}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
f''(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)=4\,(x^{2}+1)^{-2}+4x\big(-4x\,(x^{2}+1)^{-3}\big).
Simplifico o segundo termo:
4x\big(-4x\,(x^{2}+1)^{-3}\big)=-16x^{2}(x^{2}+1)^{-3}.
Logo
f''(x)=4(x^{2}+1)^{-2}-16x^{2}(x^{2}+1)^{-3}.
Coloco sobre o mesmo denominador (x^{2}+1)^{3}: multiplico o primeiro termo por (x^{2}+1)/(x^{2}+1):
f''(x)=\frac{4(x^{2}+1)-16x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}=\frac{4x^{2}+4-16x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}=\frac{4-12x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}.
Fatorando 4:
f''(x)=\frac{4(1-3x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}.

Passo 7

Resumo das fórmulas usadas (pequena revisão para fixar):
  • Regra do quociente: \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
  • Regra do produto: (ab)'=a'b+ab'.
  • Regra da cadeia para potências: \dfrac{d}{dx}(h(x))^{n}=n(h(x))^{n-1}h'(x).
E motivação final: as expressões encontradas estão em formas simples e com denominador positivo para todo x, facilitando análises futuras (sinal, extremos, concavidade, etc.).

Resposta

f'(x)=\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}
f''(x)=\frac{4(1-3x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}

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