O que nos pedem: ajustar uma reta da forma \displaystyle y=ax+b por mínimos quadrados e usar essa reta para estimar o consumo médio quando a temperatura for \displaystyle 17^\circ\mathrm{C}.
Entender e apresentar a técnica que vamos usar (sem resolver ainda): mínimos quadrados para regressão linear.
A ideia é escolher a\) e \(b\) que minimizem a soma dos quadrados dos erros (resíduos)
\[\displaystyle S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\big(y_i - (a x_i + b)\big)^2,
onde n é o número de pares de observações (n=4 aqui). As equações normais (obtidas anulando as derivadas parciais de S em relação a a e b) são
\begin{cases} \displaystyle n b + a \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n y_i,\\[6pt] \displaystyle b \sum_{i=1}^n x_i + a \sum_{i=1}^n x_i^2 = \sum_{i=1}^n x_i y_i. \end{cases}
Da álgebra dessas duas equações obtemos as fórmulas fechadas (fáceis de aplicar):
n\] é o número de observações;
- \(\sum x_i é a soma das temperaturas;
- \sum y_i é a soma dos consumos;
- \sum x_i^2 é a soma dos quadrados das temperaturas;
- \sum x_i y_i é a soma dos produtos temperatura·consumo.
Vou usar essas fórmulas passo a passo.]
Passo 3
Calcular as somas necessárias a partir dos dados (cada operação mostrada):
Interpretação: a reta extrapolada intercepta o eixo y em -14\\ \mathrm{kWh} (valor matemático da interceptação; não tem sentido físico direto para temperaturas muito baixas, é apenas parte do modelo linear).
Passo 6
Escrever a reta ajustada completa e comentar como usá-la:
\boxed{\displaystyle y = 18{,}5\,x - 14.}
Significado prático: dado um valor de temperatura \displaystyle x (em ^\circ\mathrm{C}), a previsão do consumo médio é obtida por essa fórmula. A inclinação e o intercepto já foram interpretados no passo anterior.
Passo 7
Estimativa do consumo quando \displaystyle x=17^\circ\mathrm{C}.
Substituímos na reta: