O consumo de energia y(\mathrm{kWh}) depende da temperatura média x\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) :
Temperatura (\mathrm{x}) Consumo (\mathrm{y})
16 290
18 310
20 350
22 400
Ajuste uma reta y=a x+b e estime o consumo médio quando a temperatura for 17^{\circ} \mathrm{C}.
Justifique cada passo realizado até obter a resposta.

Passo 1

O enunciado fornece quatro pares de dados da forma temperatura e consumo:
\begin{array}{cc} \text{Temperatura }(x) & \text{Consumo }(y)\\hline 16 & 290\\\\ 18 & 310\\\\ 20 & 350\\\\ 22 & 400 \end{array}
O que nos pedem: ajustar uma reta da forma \displaystyle y=ax+b por mínimos quadrados e usar essa reta para estimar o consumo médio quando a temperatura for \displaystyle 17^\circ\mathrm{C}.
Informações relevantes dadas:
(x_1,y_1)=(16,290),\\ (x_2,y_2)=(18,310),\\ (x_3,y_3)=(20,350),\\ (x_4,y_4)=(22,400).

Passo 2

Entender e apresentar a técnica que vamos usar (sem resolver ainda): mínimos quadrados para regressão linear.
A ideia é escolher a\) e \(b\) que minimizem a soma dos quadrados dos erros (resíduos) \[\displaystyle S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\big(y_i - (a x_i + b)\big)^2,
onde n é o número de pares de observações ( n=4 aqui). As equações normais (obtidas anulando as derivadas parciais de S em relação a a e b) são
\begin{cases} \displaystyle n b + a \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n y_i,\\[6pt] \displaystyle b \sum_{i=1}^n x_i + a \sum_{i=1}^n x_i^2 = \sum_{i=1}^n x_i y_i. \end{cases}
Da álgebra dessas duas equações obtemos as fórmulas fechadas (fáceis de aplicar):
\displaystyle a=\frac{n\sum x_i y_i - \big(\sum x_i\big)\big(\sum y_i\big)}{n\sum x_i^2 - \big(\sum x_i\big)^2}, \qquad \displaystyle b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}.
Aqui:
  • n\] é o número de observações; - \(\sum x_i é a soma das temperaturas;
    - \sum y_i é a soma dos consumos;
    - \sum x_i^2 é a soma dos quadrados das temperaturas;
    - \sum x_i y_i é a soma dos produtos temperatura·consumo.
    Vou usar essas fórmulas passo a passo.]

Passo 3

Calcular as somas necessárias a partir dos dados (cada operação mostrada):
n=4.
Soma das temperaturas:
\displaystyle \sum x_i = 16+18+20+22 = 76.
Soma dos consumos:
\displaystyle \sum y_i = 290+310+350+400 = 1350.
Soma dos quadrados das temperaturas:
\displaystyle \sum x_i^2 = 16^2+18^2+20^2+22^2 = 256+324+400+484 = 1464.
Soma dos produtos temperatura·consumo:
\displaystyle \sum x_i y_i = 16\cdot290 + 18\cdot310 + 20\cdot350 + 22\cdot400.
Calculemos cada produto:
16\cdot290=4640,\quad 18\cdot310=5580,\quad 20\cdot350=7000,\quad 22\cdot400=8800.
Portanto
\displaystyle \sum x_i y_i = 4640+5580+7000+8800 = 26020.

Passo 4

Aplicar a fórmula para a inclinação \displaystyle a:
\displaystyle a=\frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}.
Substituindo os valores:
\displaystyle a=\frac{4\cdot26020 - 76\cdot1350}{4\cdot1464 - 76^2}.
Calculemos numerador e denominador separadamente:
4\cdot26020 = 104080,\qquad 76\cdot1350 = 102600,
logo numerador =104080-102600=1480.
4\cdot1464 = 5856,\qquad 76^2 = 5776,
logo denominador =5856-5776=80.
Portanto
\displaystyle a=\frac{1480}{80}=18{,}5.
Interpretação: a cada aumento de 1^\circ\mathrm{C} na temperatura média, o consumo médio aumenta, em média, \displaystyle 18{,}5\\ \mathrm{kWh}.

Passo 5

Calcular o coeficiente linear \displaystyle b usando
\displaystyle b=\frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}.
Substituindo:
\displaystyle b=\frac{1350 - 18{,}5\cdot76}{4}.
Calcule 18{,}5\cdot76:
18{,}5\cdot76 = 18{,}5\cdot(70+6)=18{,}5\cdot70 + 18{,}5\cdot6 = 1295 + 111 = 1406.
Logo o numerador é 1350-1406 = -56, e
\displaystyle b=\frac{-56}{4} = -14.
Interpretação: a reta extrapolada intercepta o eixo y em -14\\ \mathrm{kWh} (valor matemático da interceptação; não tem sentido físico direto para temperaturas muito baixas, é apenas parte do modelo linear).

Passo 6

Escrever a reta ajustada completa e comentar como usá-la:
\boxed{\displaystyle y = 18{,}5\,x - 14.}
Significado prático: dado um valor de temperatura \displaystyle x (em ^\circ\mathrm{C}), a previsão do consumo médio é obtida por essa fórmula. A inclinação e o intercepto já foram interpretados no passo anterior.

Passo 7

Estimativa do consumo quando \displaystyle x=17^\circ\mathrm{C}.
Substituímos na reta:
\displaystyle y(17)=18{,}5\cdot17 - 14.
Calculemos:
18{,}5\cdot17 = 18{,}5\cdot(10+7)=185 + 129{,}5 = 314{,}5,
então
\displaystyle y(17)=314{,}5 - 14 = 300{,}5.
Portanto a estimativa do consumo médio é \displaystyle 300{,}5\\ \mathrm{kWh}.

Resposta

\displaystyle 300{,}5\\ \mathrm{kWh}

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