f(t)= \begin{cases}3 & \text { para } t<-5 \\\ t+1 & \text { para }-5 \leq t \leq 5 ; f(-6), f(-5), f(16) \\\ \sqrt{t} & \text { para } t>5\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(t)=\begin{cases} 3 & \text{para } t<-5,\\[4pt] t+1 & \text{para } -5\le t\le 5,\\[4pt] \sqrt{t} & \text{para } t>5, \end{cases}
e pede para calcular os valores \,f(-6),\;f(-5),\;f(16)\,.
Informações relevantes dadas:
  • Há três ramos dependendo do valor de t: um ramo constante para t<-5, um ramo linear para -5\le t\le5 e um ramo raiz quadrada para t>5.
  • As desigualdades usadas ( <, \le, >) indicam claramente quais pontos pertencem a cada ramo (por exemplo, t=-5 pertence ao ramo do meio por causa de \le).
  • A raiz quadrada \sqrt{t} exige que t seja não negativo em sentido geral, mas aqui ela só aparece para t>5, então não há problema com domínio.]

Passo 2

Como avaliar uma função por partes (a mini-aula rápida e essencial).
  • Ideia prática: para calcular f(a) com um número a dado, primeiro verificar em qual intervalo a se encaixa (comparando com os pontos críticos -5 e 5). Depois usar a expressão correspondente daquele ramo e substituir t=a.
  • Atenção para os símbolos: t<-5 é aberto à esquerda (não inclui -5); -5\le t\le5 inclui os extremos -5 e 5; t>5 exclui 5.
  • Exemplo rápido (modelo): se der a=-6, como -6<-5 uso o primeiro ramo; se der a=-5, uso o segundo ramo porque -5\le -5; se der a=16, uso o terceiro ramo porque 16>5.

Passo 3

Calcular f(-6).
  • Verificar onde -6 está: -6<-5, então pertence ao primeiro ramo.
  • O primeiro ramo diz f(t)=3.
  • Portanto
f(-6)=3.

Passo 4

Calcular f(-5).
  • Verificar onde -5 está: -5 satisfaz -5\le t\le5, então pertence ao ramo do meio (o segundo).
  • O segundo ramo diz f(t)=t+1.
  • Substituindo t=-5:
f(-5)=(-5)+1=-4.

Passo 5

Calcular f(16).
  • Verificar onde 16 está: 16>5, então pertence ao terceiro ramo.
  • O terceiro ramo diz f(t)=\sqrt{t}.
  • Substituindo t=16 e lembrando que a raiz quadrada aqui é a raiz principal (não negativa):
f(16)=\sqrt{16}=4.

Passo 6

Observações didáticas rápidas (úteis na prova):
  • No ponto -5 a função toma o valor f(-5)=-4 porque o ramo do meio inclui o extremo. O limite à esquerda em -5 seria 3 (do ramo t<-5) e o limite à direita em -5 seria -4 (do ramo t+1); como \lim_{t\to-5^-}f(t)\neq\lim_{t\to-5^+}f(t), a função é descontinua em t=-5.
  • Em t=5 há também descontinuidade porque \lim_{t\to5^-}f(t)=5+1=6 enquanto \lim_{t\to5^+}f(t)=\sqrt{5}, que são diferentes; além disso f(5)=6 (do ramo do meio).

Resposta

f(-6)=3
f(-5)=-4
f(16)=4

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