Uma pessoa precisa de um empréstimo de
10.000$ por um período de 2 anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições:
a. Juros nominais de
a.a. capitalizados trimestralmente.
a. Juros nominais de
Passo 1
O enunciado dá que a pessoa precisa de um empréstimo de
por um período de
anos e que a taxa oferecida é uma taxa nominal de
ao ano, capitalizada trimestralmente. Vou listar claramente o que vou calcular (inferindo o que a pergunta inclui, já que só foi dada a condição (a)):
-
Dados relevantes:
- Valor emprestado agora (presente):
. - Taxa nominal anual:
(capitalização trimestral). - Período do empréstimo:
anos. - Capitalização trimestral significa
períodos por ano.
- Valor emprestado agora (presente):
-
Perguntas que vou responder:
- Qual é a taxa de juros por período de capitalização (juros por trimestre)
? - Qual é o número total de períodos
em anos? - Se o empréstimo for pago em um único pagamento ao final dos
anos, qual é o valor futuro a pagar? - Quanto de juros será pago no total (diferença
)? - Qual é a taxa efetiva anual equivalente?
- Qual é a taxa de juros por período de capitalização (juros por trimestre)
Passo 2
Entendendo as definições (mini-aula curta e prática):
- Taxa nominal anual com capitalização periódica: é a taxa anual declarada que é fracionada entre os
períodos do ano. A taxa por período é simplesmente a taxa nominal dividida por . - Taxa por período (trimestral)
: representa o juros aplicado em cada trimestre. - Número total de períodos
: é o número de trimestres em anos, isto é . - Para juros compostos, a relação entre valor presente
e futuro é
- A taxa efetiva anual é dada por
onde
é a taxa por período e
é o número de períodos por ano. (Observação: algumas fórmulas escritas no enunciado podem ter omissão do “
”; a fórmula correta para transformar em taxa efetiva anual é a acima.)
Passo 3
Calcular a taxa por trimestre
e o número total de trimestres
.
- A taxa nominal anual é
e há trimestres por ano. Logo a taxa por trimestre é
(Em porcentagem:
por trimestre.)
- O número total de períodos em
anos é
Passo 4
Calcular o valor futuro
a ser pago ao final dos
anos, usando juros compostos.
- Fórmula:
- Substituindo
, e :
- Vamos calcular
fazendo potências acumulativas (método que dá para fazer sem calculadora de forma iterativa):
- Portanto
Passo 5
Calcular os juros totais pagos (diferença entre
e
).
- Juros totais
:
Passo 6
Calcular a taxa efetiva anual equivalente.
- Fórmula:
onde
e
.
- Já calculamos
. Logo
- Em porcentagem:
Passo 7
Interpretação prática e dica rápida para prova (resumindo como aplicar isso num problema parecido):
- Sempre transforme a taxa nominal para a taxa por período dividindo pela frequência de capitalização (
nominal ). - Calcule
número de anos . - Use
para pagamento único ao final; use as demais fórmulas do enunciado se o pagamento for em anuidades (parcelas). - Para achar a taxa anual efetiva correspondente, use
.