Uma pessoa precisa de um empréstimo de \ 10.000$ por um período de 2 anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições:
a. Juros nominais de 5 \% a.a. capitalizados trimestralmente.
\begin{aligned} & P=F \times \frac{1}{(1+i)^{n}} \\\ & P=A \frac{(1+i)^{n}-1}{i \times(1+i)^{n}} \\\ & F=A \times \frac{(1+i)^{n}-1}{i} \\\ & i_{a}=\left(1+i_{c}\right)^{m} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá que a pessoa precisa de um empréstimo de \$10.000 por um período de 2 anos e que a taxa oferecida é uma taxa nominal de 5\% ao ano, capitalizada trimestralmente. Vou listar claramente o que vou calcular (inferindo o que a pergunta inclui, já que só foi dada a condição (a)):
  • Dados relevantes:
    • Valor emprestado agora (presente): P=\$10.000.
    • Taxa nominal anual: i_{\text{nom}}=5\%\\ \text{a.a.} (capitalização trimestral).
    • Período do empréstimo: 2 anos.
    • Capitalização trimestral significa m=4 períodos por ano.
  • Perguntas que vou responder:
    1. Qual é a taxa de juros por período de capitalização (juros por trimestre) i?
    2. Qual é o número total de períodos n em 2 anos?
    3. Se o empréstimo for pago em um único pagamento ao final dos 2 anos, qual é o valor futuro F a pagar?
    4. Quanto de juros será pago no total (diferença F-P)?
    5. Qual é a taxa efetiva anual equivalente?

Passo 2

Entendendo as definições (mini-aula curta e prática):
  • Taxa nominal anual com capitalização periódica: é a taxa anual declarada que é fracionada entre os m períodos do ano. A taxa por período é simplesmente a taxa nominal dividida por m.
  • Taxa por período (trimestral) i: representa o juros aplicado em cada trimestre.
  • Número total de períodos n: é o número de trimestres em 2 anos, isto é n = \text{anos}\times m.
  • Para juros compostos, a relação entre valor presente P e futuro F é
F = P(1+i)^{n}.
  • A taxa efetiva anual é dada por
i_{\text{efetiva anual}} = (1+i)^{m}-1,
onde i é a taxa por período e m é o número de períodos por ano. (Observação: algumas fórmulas escritas no enunciado podem ter omissão do “ -1”; a fórmula correta para transformar em taxa efetiva anual é a acima.)

Passo 3

Calcular a taxa por trimestre i e o número total de trimestres n.
  • A taxa nominal anual é 5\% e há m=4 trimestres por ano. Logo a taxa por trimestre é
i=\frac{0,05}{4}=0,0125.
(Em porcentagem: i=1,25\% por trimestre.)
  • O número total de períodos em 2 anos é
n=2\times 4=8\\ \text{trimestres}.

Passo 4

Calcular o valor futuro F a ser pago ao final dos 2 anos, usando juros compostos.
  • Fórmula:
F = P(1+i)^{n}.
  • Substituindo P=\$10.000, i=0,0125 e n=8:
F = 10.000\,(1+0,0125)^{8}.
  • Vamos calcular (1+0,0125)^{8}=(1,0125)^{8} fazendo potências acumulativas (método que dá para fazer sem calculadora de forma iterativa):
\begin{aligned} (1,0125)^1 &= 1,0125,\\\ (1,0125)^2 &= 1,02515625,\\\ (1,0125)^3 &= 1,037970703125,\\\ (1,0125)^4 &= 1,0509453369140625,\\\ (1,0125)^5 &= 1,0640821536254883,\\\ (1,0125)^6 &= 1,0773831805458069,\\\ (1,0125)^7 &= 1,0908504703026295,\\\ (1,0125)^8 &= 1,1044861011814123. \end{aligned}
  • Portanto
F = 10.000\times 1,1044861011814123 \approx \$11.044,86.

Passo 5

Calcular os juros totais pagos (diferença entre F e P).
  • Juros totais J:
J = F-P \approx \$11.044,86 - \$10.000 = \$1.044,86.

Passo 6

Calcular a taxa efetiva anual equivalente.
  • Fórmula:
i_{\text{efetiva anual}}=(1+i)^{m}-1,
onde i=0,0125 e m=4.
  • Já calculamos (1+i)^{4}=(1,0125)^{4}=1,0509453369140625. Logo
i_{\text{efetiva anual}}=1,0509453369140625-1=0,0509453369140625\approx 0,0509453.
  • Em porcentagem:
i_{\text{efetiva anual}}\approx 5,0945336914\%\approx 5,0945\%.

Passo 7

Interpretação prática e dica rápida para prova (resumindo como aplicar isso num problema parecido):
  • Sempre transforme a taxa nominal para a taxa por período dividindo pela frequência de capitalização ( i= nominal / m).
  • Calcule n= número de anos \times m.
  • Use F=P(1+i)^{n} para pagamento único ao final; use as demais fórmulas do enunciado se o pagamento for em anuidades (parcelas).
  • Para achar a taxa anual efetiva correspondente, use (1+i)^{m}-1.

Resposta

i_{\text{trimestral}}=0,0125 (ou 1,25\% por trimestre)
n=8\\ \text{trimestres}
F\approx \$11.044,86
J=F-P\approx \$1.044,86
i_{\text{efetiva anual}}\approx 5,0945\%

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